Tema 1

INTRODUCCION
Si estamos entre matemáticos, la palabra inducción nos sugiere
el Principio de Inducción Matemática: Si una propiedad vale
para 0 y si siempre que la propiedad vale para un número
(natural) vale para su sucesor, entonces la propiedad vale para
todos los números (naturales). Este famoso principio se hizo
especialmente conocido como uno de los cinco postulados de
Peano.

1. 1 es unnúmero natural. (es decir, el conjunto de los
números naturales no es vacío)
2. Si a es un número natural, entonces a+1 también es un
número natural (llamado el sucesor de a).
3. 1 no es sucesor de ningún número natural. (primer
elemento del conjunto)
4. Si hay dos números naturales a y b tales que sus
sucesores son diferentes entonces a y b son números
naturales diferentes.
5. Axioma de inducción: siun conjunto de números
naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de
sus elementos entonces contiene a todos los números
naturales.

La Inducción matemática es definitivamente una forma de
deducción. Es una inducción en el sentido en que generaliza a
toda una clase a partir de unos pocos ejemplos. Es mas,
usualmente la muestra está conformada por un caso, y la clase
total es infinita!La inducción matemática es deductiva, porque la muestra mas
una regla acerca de los casos no examinados realmente da
información sobre todo elemento de la clase. Así la conclusión
de una inducción matemática no contiene más información que
la que hay en las premisas. La inducción matemática por lo
tanto concluye con certeza deductiva.

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Un número es cualquier cosa que sea el número de unaclase.
En teoría axiomática de conjuntos un número natural es un
elemento del mínimo conjunto inductivo, conjunto al que se le
da el nombre de conjunto de los números naturales; por
inductivo se entiende un conjunto S al que pertenece 0 y tal que
si n pertenece a S, n + 1 también pertenece. Con esta definición
lo que se está aceptando es que el principio de inducción
matemática es inherente alconcepto de número natural.

Como bien sabemos para probar una proposición por inducción
procedemos como sigue: Mostramos que vale para 0, (o 1 o un
determinado número). Luego suponemos que si es cierto para
un número n mayor que 0 (o 1 o un determinado número),
entonces probamos que vale para n+1. Entonces concluimos
que vale para todos los números mayores que 0 (o 1 o un
determinado número).Consideremos una lista p (l), p (2), p (3),... de proposiciones con
índices en P. Todas las proposiciones p(n) son verdaderas a
condición de que:




(B)
p(l) sea verdadera;
(I)
p(n + 1) sea verdadera siempre que p (n) sea
verdadera.

Nos referiremos a (B); es decir, al hecho que p (l) es verdadera,
como la base de la inducción y nos referiremos a (1) como el
paso inductivo. En la notación delcálculo preposicional, el paso
inductivo es equivalente a:

La implicación p(n) → p (n + 1) es verdadera para todo n
€ P.

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1.1.Los números enteros

Los números enteros se definen como el conjunto de los
números Z={...,-2,-1,0,1,2,3,...}. Dentro de este conjunto está el
subconjunto de los números naturales, N={1,2,3,4,...}. Es decir,
el subconjunto de los números enteros positivos (mayores que0).
Pueden definirse en Z dos operaciones internas binarias + , . :
Z x Z ⇒ Z, a las que llamamos suma y producto,
respectivamente. Estas operaciones cumplen las siguientes
propiedades:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.

Cerradas: a+b ∈ Z y a.b ∈ Z, ∀a,b ∈Z
Conmutativas: a+b = b+a , a.b = b.a , ∀ a,b ∈ Z
Asociativas: a+(b+c) = (a+b)+c , a.(b.c) = (a.b).c , ∀ a,b
∈Z
Existencia de elementos neutros: a+0 =a , a.1 = a , ∀
a∈Z
Existencia de elemento opuesto para la suma: ∀a ∈Z
existe -a ∈ Z tal que a + (-a) = 0
Cancelativa: Si a es distinto de 0, y a.b = a.c entonces b
=c
Distributiva: a.(b+c) = a.b + a.c ∀ a,b,c ∈ Z

La ordenación de los números enteros
En Z se puede definir una relación de orden total, con el
orden usual <. Así, para cualesquiera dos elementos distintos
de Z, a