Tema 10 Par bolas Hip rbolas

´
´
MATEMATICAS
BASICAS

Autor: Lorenzo Acosta Gempeler
Edici´on: Jeanneth Galeano Pe˜
naloza
Rafael Ballestas Rojano
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Matem´
aticas
Sede Bogot´
a

Enero de 2015
Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Simetr´ıas y c´
onicas

1/1

Parte I
Relaciones

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Simetr´ıas y c´onicas

2/1

Simetr´ıas

Observe que:
y
(x, y )

x

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Simetr´ıas y c´
onicas

3/1

Simetr´ıas

Observe que:
(−x, y )

y
(x, y )

Los puntos (x, y ) y (−x, y ) son sim´etricos
con respecto al eje y .
x

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Simetr´ıas y c´
onicas

3/1

Simetr´ıas

Observe que:
(−x, y )

y
(x, y )

Lospuntos (x, y ) y (−x, y ) son sim´etricos
con respecto al eje y .
Los puntos (x, y ) y (x, −y ) son sim´etricos
con respecto al eje x.

x

(x, −y )

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Simetr´ıas y c´
onicas

3/1

Simetr´ıas

Observe que:
(−x, y )

y
(x, y )

Los puntos (x, y ) y (−x, y ) son sim´etricos
con respecto al eje y .

(y , x)

Los puntos (x, y ) y (x, −y ) sonsim´etricos
con respecto al eje x.

x

Los puntos (x, y ) y (y , x) son sim´etricos
con respecto a la recta y = x.
(x, −y )

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Simetr´ıas y c´
onicas

3/1

Ejemplo
T = (x, y ) ∈ R2 : p(x, y )

y

x

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Simetr´ıas y c´
onicas

4/1

Ejemplo
T1 = (x, y ) ∈ R2 : p(−x, y )

y

x

UniversidadNacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Simetr´ıas y c´
onicas

4/1

Ejemplo
T1 = (x, y ) ∈ R2 : p(−x, y )

y

x

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Simetr´ıas y c´
onicas

4/1

Ejemplo
T2 = (x, y ) ∈ R2 : p(x, −y )

y

x

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Simetr´ıas y c´
onicas

4/1

Ejemplo
T2 = (x, y ) ∈ R2 : p(x, −y )

y

x

UniversidadNacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Simetr´ıas y c´
onicas

4/1

Ejemplo
T3 = (x, y ) ∈ R2 : p(y , x)
y

x

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Simetr´ıas y c´
onicas

4/1

Ejemplo
T3 = (x, y ) ∈ R2 : p(y , x)
y

x

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Simetr´ıas y c´
onicas

4/1

Ejemplo
T3 = (x, y ) ∈ R2 : p(y , x)
y

x

UniversidadNacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Simetr´ıas y c´
onicas

4/1

Propiedades

1. Si T es la relaci´on definida por el predicado p(x, y ) y
S = (x, y ) ∈ R2 : p(−x, y )
entonces la gr´afica de S se obtiene de la de T mediante una
simetr´ıa con respecto al eje y .

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Simetr´ıas y c´
onicas

5/1

Propiedades

2. Si T es la relaci´ondefinida por el predicado p(x, y ) y
U = (x, y ) ∈ R2 : p(x, −y )
entonces la gr´afica de U se obtiene de la de T mediante una
simetr´ıa con respecto al eje x.

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Simetr´ıas y c´
onicas

5/1

Propiedades

3. Si T es la relaci´on definida por el predicado p(x, y ) y
V = (x, y ) ∈ R2 : p(y , x)
entonces la gr´afica de V se obtiene de la de Tmediante una
simetr´ıa con respecto a la recta y = x.

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Simetr´ıas y c´
onicas

5/1

Transformaciones de Relaciones
Realicemos estas variaciones a p(x, y ) en el ejemplo
P = (x, y ) ∈ R2 : y = x 2 = (x, y ) ∈ R2 : p(x, y )
y
4
3
2
1
-2 -1
-1

Universidad Nacional de Colombia

1

2

Matem´
aticas B´
asicas

x

Simetr´ıas y c´
onicas

6/1Transformaciones de Relaciones
Realicemos estas variaciones a p(x, y ) en el ejemplo
P = (x, y ) ∈ R2 : y = x 2 = (x, y ) ∈ R2 : p(x, y )
y
4
3
2
1
-2 -1
-1

Universidad Nacional de Colombia

1

2

Matem´
aticas B´
asicas

x

Simetr´ıas y c´
onicas

6/1

Transformaciones de Relaciones
P1 = (x, y ) ∈ R2 : y = (−x)2 = (x, y ) ∈ R2 : p(−x, y )
y

x

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´...