tema 4

Tema

4

Derivaci´ n de funciones de una variable
o
4.1.

Definici´ n de derivada. Interpretaciones
o

La derivaci´ n es una herramienta muy potente del c´ lculo. Si las funciones continuas son aquellas
o
a
cuyas gr´ ficas no presentan saltos, las funciones derivables tienen la propiedad de que su gr´ fica,
a
a
adem´ s de ser continua, no presenta picos, cambios bruscos de direcci´n, o rectas tangentes verticales.
a
o
Existen varias formas de aproximarse al concepto de derivada de una funci´ n de una variable en
o
un punto. Nosotros eligiremos dos: la primera, a trav´ s de la tasa de variaci´ n instant´ nea de una
e
o
a
funci´ n; la segunda, a partir del problema de la recta tangente a una gr´ fica en un punto.
o
a

4.1.1.

Tasa de variaci´ n instant´ nea deuna funci´ n
o
a
o

En F´sica, la velocidad media de un m´ vil es el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo
ı
o
empleado en ello. Ahora bien, ¿qu´ significado tiene entonces la llamada velocidad instant´ nea? En
e
a
un instante, un m´ vil no recorre nada, y la cantidad de tiempo necesitada es tambi´ n cero. Por tanto,
o
e
el concepto de velocidad instant´ nea s´ lo puede serentendido como un paso al l´mite. Es decir, si mea
o
ı
dimos el espacio recorrido por el veh´culo en un tiempo h peque˜ o, y lo dividimos entre h, el resultado
ı
n
ser´ pr´ ximo a nuestra idea de velocidad instant´ nea. Y ser´ m´ s pr´ ximo cuanto m´ s peque˜ o sea h.
a o
a
a a o
a
n
As´ pues, la velocidad v(t0 ) en un instante t0 no es otra cosa que:
ı
e(t0 + h) − e(t0 )
,
h→0
hv(t0 ) = l´m
ı

donde e(t) es el espacio recorrido en funci´ n del tiempo t. Cuando dicho l´mite existe y es finito se
o
ı
llama derivada de e(t) en t0 .
En general, siguiendo la idea que se ha visto en el ejemplo anterior, la derivada representa la tasa
instant´ nea de cambio de una magnitud. Sea f : I → R una funci´ n definida en un intervalo abierto I.
a
o
Se llama tasa de variaci´ nmedia de f en [u, v] ⊂ I al n´ mero real:
o
u
TV M( f , [u, v]) =

∆f
f (v) − f (u)
=
,
∆x
v−u

que representa c´ mo cambia la magnitud y = f (x) respecto de x en [u, v]. Si nos preguntamos por la
o
tasa de variaci´ n instant´ nea de f en un punto concreto a ∈ I, entonces debemos calcular tasas de
o
a
U NIVERSIDAD DE G RANADA . C URSO 2009-10

Definici´ n de derivada.Interpretaciones
o

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variaci´ n media en intervalos de la forma [a, a + h] con h cada vez m´ s peque˜ o. De este modo:
o
a
n
TV I( f , a) = l´m TV M( f , [a, a + h]) = l´m
ı
ı
h→0

h→0

f (a + h) − f (a)
.
h

Cuando este l´mite existe y es finito se llama derivada de f (x) en a.
ı

4.1.2.

El problema de la recta tangente

Dada una curva C en el plano y un punto p ∈ C, se llamarecta tangente a C en p, a una recta R
´
que aproxima de forma optima a C alrededor de p, es decir, los dibujos de C y R est´ n muy pr´ ximos
a
o
en un entorno peque˜ o de C que contiene a p. Para que una curva C tenga en p una recta tangente es
n
intuitivamente claro que C debe de ser “suave” en p, es decir, C no puede presentar en p un pico ni un
cambio brusco de direcci´ n. Esto sepuede ilustrar con ayuda de la curva y = |x| en el punto (0, 0). El
o
problema de la recta tangente consiste en descubrir condiciones para que C tenga recta tangente en p
y, en caso de tenerla, calcular dicha recta en t´ rminos de C y p.
e
Queremos ahora estudiar el problema de la recta tangente a la gr´ fica y = f (x) de una funci´ n
a
o
continua f : I → R en un punto (a, f (a)) con a ∈ I.Seg´ n la ecuaci´ n de la recta en la forma puntou
o
pendiente, la recta que buscamos, si existe, tendr´ la ecuaci´ n
a
o
y = f (a) + m (x − a),
donde m es la pendiente de la recta, que habr´ que determinar a partir de f (x) y a. Recordemos que
a
´
la pendiente de una recta es la tangente del angulo α que forma la recta con el eje de abcisas. Para
calcular m procedemos de esta forma....