Tema 4Operadores diferenciales

SISTEMAS DE COORDENADAS
Dependiendo del problema y de las simetrías que presente,
es conveniente elegir el sistema de coordenadas.
Coordenadas rectangulares (x, y, z).
Coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z).
Coordenadas esféricas (r, θ,φ ). Notar que el ángulo θ es de
revolución con respecto al eje z y varía entre 0 y π, mientras que
el ángulo φ se mide siempre en el plano xy y varía en un
margende 0 a 2π.

Cambios de coordenadas rectangulares-cilindricas
Las coordenadas se relacionan según:
x = ρ.cos φ
y = ρ.sin φ
z= z
y los vectores unitarios (que dependen de φ )
 A   cos 
 A    sen
  
 Az   0

sen
cos 

 Ax  cos 
 A    sin 
 y 
 Az   0

 sen
cos 

0

0

0  Ax 
0  Ay 
1  Az 

0  A 
0  A 
1  Az 

Cambios decoordenadas rectangulares-esféricas

Las coordenadas se relacionan según:
x = r sinθ cos φ
y = r sinθ sinφ
z = r cos θ
y los vectores unitarios (que dependen de θ y φ):
 Ar   sin  . cos 
  
 A   cos  . cos 
 A    sin 
 

sin  . sin 
cos  . sin 
cos 

cos    Ax 
 sin    Ay 
0   Az 

 Ax  sin  . cos 
 A    sin  . sin 
 y 
 Az   cos cos  . cos 
cos  . sin 
 sin 

 sin    Ar 
 
cos    A 
0   A 

Cambios de coordenadas cilindricas-esféricas
ρ = r sinθ
z = r cosθ
y los vectores unitarios (que dependen de θ ):
 Ar   sin 
  
 A   cos 
 A   0
 

 A   sin 
A    0
  
 Az  cos 

0 cos    A 
0  sin    A 
1
0   Az 

cos 
0
 sin 

0  Ar 
 
1 A 
0  A 

Dados el punto P(-2, 6 3)m. y el vector A  yi  ( x  z) j , exprese P y A
en coordenadas cilíndricas y esféricas. Evalúe el modulo del vector A
en el punto P en los sistemas cartesiano, cilíndrico y esférico.
Resolución: De cartesianas a cilíndricas
En el punto P : x=-2m ,y=6m , z=3m. Por tanto:

  x 2  y 2  4  36  6,32m
y
1 6
  tan
 tan
 108,43
x
2
1

z  3mP(-2, 6 3)m=P(6,32m , 1,89rad, 3m)

De cartesianas a esféricas:

r  x 2  y 2  z 2  4  36  9  7

  tan 1

x2  y 2
40
1
 tan
 64,62
z
3

P(-2, 6 3)m=P(7m , 1,13rad, 1,89rad)

En el sistema cartesiano, el vector A evaluado en el punto P es

A  6i  j

A  36  1  6,086
Para evaluar el vector A en el punto P pero en cilíndricas, debo
transformar la función del vector A encilíndricas.
Tenemos que Ax  y, A y  x  z y A z  0
En consecuencia en el sistema cilíndrico:

 A   cos 
 A    sen
  
 Az   0

sen
cos 
0

0  y 
0  x  z 
1  0 

A  y cos   ( x  z ) sen
A   ysen  ( x  z ) cos 
Az  0

Pero x=ρcosφ ; y= ρsenφ cuya sustitución da como resultado:
A  A    A   Az k





 cossen  ( cos  z)sen     sen2  (  cos   z ) cos    0k

Pero en P ρ=6,32m , φ=1,89rad y z=3m por tanto:

A  0,9487   6,008
A  A2  A2  Az2  (0,9487) 2  (6,008) 2  6,083

En forma similar, en el sistema esférico:
 Ar   sin  . cos 
  
 A   cos  . cos 
 A    sin 
 

sin  . sin 
cos  . sin 
cos 

cos    y 
 sin    x  z 
0   0 

Ar  ysen cos   ( x  z )sensen
A  y cos  cos   ( x  z ) cos sen
A   ysen  ( x  z ) cos 
Pero x= rsenθcosφ, y= rsenθsenφ; y z= rcosθ cuya sustitución da:

A  Ar  r  A   A 





 r sen 2 cos sen  ( sen cos   cos  ) sensen  r

 rsen cos sen cos   ( sen cos   cos  ) cos sen 





 r - sen 2sen  ( sen cos   cos  ) cos  

En P r=7 ;

φ=108,43° y θ=64,62° portanto:

A  0,8571r  0,4066  6,008

A  0,8571  0,4066  6,008  6,083
2

2

2

10
Exprese el vector A  r  r cos    en coordenadas cartesianas
r

y cilíndricas. Calcule dicho vector en los puntos (-3, 4, 0) y (5, π/2, -2)

Resolución: Para transformar variables esféricas a cartesianas tenemos:

 Ax  sin  . cos 
 A    sen .sen
 y 
 Az   cos 
Entonces:

cos...