Solucion De Taller De Ecuaciones Diferenciales Tema Laplace

Universidad Industrial de Santander

Tercer examen
Ecuaciones Diferenciales

Enero de 2012
Prof. Gilberto Arenas D´az ı

Sede Socorro ´ Escuela de Matematicas

Nombre:

´ Codigo:Instrucciones: Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justi caciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores,calculadoras, lapices, etc. ´ ´ ´ El profesor no respondera preguntas, parte de la evaluacion es la comprension de los enunciados. Todos los puntos tienen el mismo valor. ´ No se permite el uso detelefonos celulares durante el examen.

1. Resuelva el problema de valor inicial ty ′′ − ty ′ + y = 2, ´ 2. La ecuacion diferencial x′′ + 4x = 3U (t − 5) sen(t − 5), x(0) = 1, x′(0) = 0, ´ ´ modela elmovimiento de un resorte. Encuentre la solucion de dicha ecuacion. ´ 3. a) Resuelva la ecuacion integrodiferencial
t

y(0) = 2,

y ′ (0) = −1.

x (t) + 5
0

′

cos 2(t − u)x(u) du = 10,x(0) = 2.

´ ´ b) Halle la trasformada de Laplace de la funcion periodica onda triangular ´ que se muestra a continuacion.
x(t) 1 x = f (t)

1

2

3

4

5

6 t

´ 4. Encuentre lasolucion general del sistema de ecuaciones diferenciales no ´ homogeneo:   dx t    dt = x − y + e  dy  = 2x + 3y + e−t  dt    x(0) = 1, y(0) = 0.

´ Solucion del tercer examen de ED - SS11SS1. Resuelva el problema de valor inicial ty ′′ − ty ′ + y = 2, ´ Solucion. Observe que L ty ′′ = − y d d L y ′ = − [sY − 2] = −Y − sY ′ . ds ds Por lo anterior, al aplicar transformada de Laplace alpvi se obtiene L ty ′ = − 2 −2sY − s2 Y ′ + 2 − −Y − sY ′ + Y = . s ´ Esta ecuacion es equivalente a s − s2 Y ′ + (2 − 2s) Y = 2 − 2, s d d 2 L y ′′ = − s Y − 2s + 1 = −2sY − s2 Y ′ + 2 ds ds y(0) = 2,y ′ (0) = −1.

´ una ecuacion diferencial lineal de primer orden, que se puede resolver facilmente 2 2 − 2s 2 c Y′+ Y = 2 =⇒ s2 Y ′ + 2sY = 2 =⇒ Y = + 2 . s s (1 − s) s s Aplicando transformada...