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Tema 3: Producto escalar
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Definición de producto escalar

Un producto escalar en un R-espacio vectorial V es una operación ”·” en la que se operan vectores
y el resultado es un número real, y que verifica las siguientes propiedades:
1. Bilineal:
(i)
(i0 )

(u + u0 ) · v = u · v + u0 · v para todo u, u0 , v ∈ V
u · (v + v0 ) = u · v + u · v0 para todo u, v, v 0 ∈ V

αu · v = u · αv = α(u · v)para todo α ∈ R y todo u, v ∈ V

(ii)
2. Simétrica:

Para todo u, v ∈ V se tiene que u · v = v · u.
3. Definida positiva:
Para todo vector u ∈ V no nulo se tiene que u · u > 0.
La expresión u · v es un escalar al que se le denomina producto escalar de u y v.
Observación 1.1 Rigurosamente hablando un producto escalar en V es una aplicación f : V × V →
R, lo único es que por comodidad en vez deutilizar la notación f (u, v) para el número real producto
de los dos vectores, preferimos por comodidad y tradición, denotarlo con el punto de multiplicar ”·”.
Incluso otros autores utilizan para esto la notación < u, v >.
Al par (V, ·), formado por un R-espacio vectorial junto con un producto escalar se le denomina
espacio vectorial euclídeo. Incluso suele hablarse del espacio vectorial euclídeo V sinmencionar
el producto escalar, que se supone sobreentendido.
Propiedad: En un espacio vectorial euclídeo (V, ·) se cumple que:
Para cualquier vector v ∈ V se tiene que
v·0=0
En conclusión el único modo de que se anule v · v es para el vector nulo v = 0. Pues si v 6= 0 entonces
v·v >0
Ejemplo 1.2

1. El producto escalar usual (canónico o euclídeo) en Rn .

Dados (x1 , x2 , ..., xn ), (y1 , y2 ,..., yn ) ∈ Rn se define el producto escalar euclídeo en Rn del siguiente modo:
(x1 , x2 , ..., xn ) · (y1 , y2 , ..., yn ) = x1 · y1 + x2 · y2 + ... + xn · yn

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2. He aquí un ejemplo de un producto escalar (distinto del euclídeo) definido en R3 :
(x1 , x2 , x3 ) · (y1 , y2 , y3 ) = x1 · y1 + 5x2 · y2 + 2x3 · y3
3. En R3 con el producto escalar euclídeo obtenemos
(2, 1, −3) · (5, 2, 4) = 2 · 5 +1 · 2 + (−3) · 4 = 10 + 2 − 12 = 0
y con el producto escalar visto en el ejemplo 2) obtenemos
(2, 1, −3) · (5, 2, 4) = 2 · 5 + 5 · 1 · 2 + 2 · (−3) · 4 = 10 + 10 − 24 = −4
4. En P2 [R], el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2, y tomando [a, b]
un intervalo cualquiera de la recta real, se define el producto escalar
Zb
p(x) · q(x) = p(x)q(x)dx
a

Mediante dicho productorealicemos el siguiente ejemplo, suponiendo que estamos trabajando
con el intervalo [0, 1]:
Z1
Z1
1
5
x4
1
2
= ( + 1) − 0 =
x · (x + 2) = x · (x + 2)dx = (x3 + 2x)dx = [ + x2 ]
4
4
4
0
2

0

2

0

Norma asociada a un producto escalar

Sea (V, ·) un espacio vectorial euclídeo y v ∈ V . Se llama norma (módulo o longitud) del vector
v (asociada al producto escalar anterior) al número real no negativo√
kvk = + v · v
A este valor lo llamaremos norma del vector v.
Observación 2.1 La norma asociada al producto escalar euclídeo de Rn está dada para un vector
(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn por
q
k(x1 , x2 , ..., xn )k = x21 + x22 + ... + x2n
(la llamaremos norma euclídea).

Se dice que un vector es unitario cuando tiene norma 1. A partir de cualquier vector no nulo
siempre puede construirse un vectorunitario dividiendo por la norma.
Ejemplo 2.2 Con el producto escalar usual en R3 la norma del vector u = (2, −3, 0) vale
p
√
√
kuk = k(2, −3, 0)k = 22 + (−3)2 + 02 = 4 + 9 + 0 = 13.
Entonces el vector

2
u
3
= ( √ , − √ , 0)
kuk
13
13
2

es unitario, pues
°
°
°
° s
° 2
° u °
°
3
°
° = °( √ , − √ , 0)° = ( √2 )2 + (− √3 )2 + 02 =
° 13
° kuk °
13 °
13
13
r
r
9
4
13 √
+
+0=
= 1=1
=
13 13
13
Ejemplo 2.3Utilizando la norma asociada al producto escalar en R2 dado mediante la expresión
(x, y) · (x0 , y 0 ) = 4xx0 + 2yy 0 − 2xy 0 − 2yx0
la norma del vector (2, 1) es
k(2, 1)k =

p
√
√
(2, 1) · (2, 1) = 4 · 2 · 2 + 2 · 1 · 1 − 2 · 2 · 1 − 2 · 1 · 2 = 10

mientras que la norma euclídea del mismo vector es
k(2, 1)k =

3

p
√
√
(2, 1) · (2, 1) = 22 + 12 = 5

Ortogonalidad

Se dice que dos vectores u...