Producto vectorial y escalar

PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL

Producto escalar o interno: Dados dos vectores A y B, su producto escalar o interno A·B, se define como el producto de sus modelos por el coseno del ángulo o que forman.
Por lo tanto, A · B = lAl lBl cos θ, 0 ≤ θ ≤ π
Obsérvese que A · B es un escalar, un número y un vector.
Las propiedades del producto escalar son:
1.- A · B = B · APropiedad conmutativa
2.- A · (B + C) = A · B + A · C Propiedad Distributiva del . producto escalar respecto de la suma.
3.- m (A· B) = (m A) · B . = A · (m B) = (A · B) m Siendo m un escalar.
4.- ηΠ= ηΠ= K·K = 1. ηĵ= ĵ·K = K·Î = 0
5.-dados A = A1î + A2ĵ + A3K y B = B1î + B2ĵ + B3K, se verifica.
A · B = A1B1 + A2B2 + A3B3
A · A = A2 = A12 + A22 + A33
B · B = B2 = B12 + B22 + B33
6.- Si A · B = 0 y ninguno de los valores es nulo, ambos son perpendiculares.
Ejemplo: Halla los productos escalares siguientes.
a) î·î = lîllîl cos 0°Z . = (1)(1)(1) = 1
b) î·k = lîllkl cos 90° . =(1)(1)(0) = 0
c) k·ĵ = lkllĵl cos 90° Y . = (1)(1)(0) = 0
d) Si A = A1î + A2ĵ + A3k X. y B = B1î + B2ĵ + B3k
Demostrar que A · B = A1B1 + A2B2 + A3B3
PRODUCTO VECTORIAL O EXTERNO

Dados los vectores A y B su producto vectorial o externo es otro vector C = A x B. El modulo A x B es el producto de módulos por el seno del ángulo θ que forman la dirección de C = A x B es la perpendicular al plano que forma A, B y C que forman un triedro a derechas.
Por lo tanto: A x B =lAl lBl sen θu , 0 ≤ θ ≤ π
Siendo un vector unitario que indica la dirección y el sentido del producto A x B. Si A = B, o bien si A tiene la misma dirección que B, sen θ = 0, con lo que A x B = 0
Ejemplo: Hallar los productos vectoriales siguientes.
a) îxî = lîllîl sen θ = (1)(1)(1) = 1
b) ĵxĵ = lĵllĵl sen θ = (1)(1)(1) = 1
c) kxk = lkllkl sen θ = (1)(1)(1) = 1

Hallar los productosvectoriales siguientes
k
Ĵ x k = î
k x î = ĵ
î x ĵ = k ĵ
Ĵ x î = -k
î x k = -ĵ î
k x ĵ = -î

3.- Dados los vectores
A = -2î + 2ĵ – 3k
B = 2î + 4ĵ + 4k
a) calcular A x B sin utilizar la definición de determinante (Aplicando las propiedades del producto vectorial).
b) Comprobar el resultado del inicio a, empleandola definición del determinante.

SOLUCION:
a) (-2î +2ĵ – 3k) (2î + 4ĵ + 4k) = - 4(î x î) – 8(î x ĵ) – 8(î x k)
= + 4(ĵ x î) + 8(ĵ x ĵ) + 8(ĵ x k)
= - 16(k x î) - 12(k x ĵ) - 12(k x k)
= 0 - 8k + 8ĵ – 4k + 0 + 8î - 6ĵ + 12î - 0
= 20î + 2ĵ – 12k

c) Hallar (A + B) x (A – B)
Si A = -2î +2ĵ – 3k
B = 2î - 2ĵ + 4k

(A + B) = (-2î +2ĵ –...