Tema40809

Fundamentos Matem´
aticos de la Ingenier´ıa. (Tema 4) Hoja

1

Escuela T´
ecnica Superior de Ingenier´ıa Civil e Industrial (Esp. en Hidrolog´ıa)

Fundamentos Matem´
aticos de la Ingenier´ıa.
Tema 4: Diagonalizaci´
on de matrices.

1

Curso 2008-09

Introducci´
on
En este tema analizaremos el concepto de matriz diagonalizable, y su aplicaci´on al ´algebra matricial

2

Autovalores yautovectores.

Sea A ∈ Mn (R), una matriz cuadrada. Decimos que λ ∈ R es un autovalor o valor propio de A si existe
un vector columna v = 0 tal que A · v = λv. El vector v se llama autovector o vector propio asociado al
autovalor λ. El conjunto de todos los autovectores asociados a un mismo autovalor se llama autoespacio o
subespacio propio, y se denota por V (λ).
• Ejemplo.
2
1

1. λ = 1 es autovalor de lamatriz A =
A·v =

1
2
2
1

, con autovector asociado v =
1
2

1
−1

=

1
−1

1
−1

. En efecto:

= v.

´nico autovector asociado a λ = 1. Si t ∈ R, el vector vt =
Pero v no es el u

t
−t

tambi´en es un

autovector asociado al mismo autovalor:
A · vt =

2
1

1
2

t
−t

=

t
−t

= vt .

De hecho, el autoespacio correspondiente a λ = 1 es
V (1) =

t

1
−1

,



t∈R .


1
2
0
2
0 . Calculemos loscorrespondientes autovectores. Si
2. λ = −1 es autovector de A =  0
−2 −2 −1


x
v =  y , debe verificarse que
z





1
2
0
x
x
2
0   y  = −  y  = −v
A·v = 0
−2 −2 −1
z
z
es decir


 2x + 2y = 0
3y = 0

−2x − 2y = 0

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2

Resolviendo el sistema se obtiene
 que
 x = y = 0, pero no hay ninguna condici´on para z. Portanto, los
0
autovectores son de la forma  0 . Es decir,
z
  

0


V (−1) = z  0  , z ∈ R .


1

El conjunto de autovalores de la matriz A se llama espectro de A y se denota por σ(A).
En lo que sigue aprenderemos la t´ecnica necesaria para averiguar si una matriz cuadrada posee, y en su caso
cu´
antos, autovalores, as´ı como su correspondiente c´alculo.
Comenzamos haciendo notar que elhecho de que una matriz A ∈ Mn (R) posea autovalores y autovectores
depende de la existencia de soluciones para la igualdad Av = λv. Pero esta igualdad es equivalente a
(A − λI)v = 0, es decir

 


0
v1
(a11 − λ)
a12
···
a1n

  v2   0 
a21
(a22 − λ) · · ·
a2n

 

A=

 ···  =  ··· 
···
···
···
···
0
vn
an1
an2
· · · (ann − λ)
Este sistema es homog´eneo, por lo que para que tengasoluci´on distinta de la trivial (v = 0) es necesario y
suficiente que el determinante de la matriz del sistema sea cero

A=

(a11 − λ)
a12
a21
(a22 − λ)
···
···
an1
an2

···
a1n
···
a2n
···
···
· · · (ann − λ)

=0

El desarrollo del determinante anterior genera un polinomio en λ de grado n, el cual se denota por
p(λ) = det(A−λI), y se denomina polinomio caracter´ıstico de la matriz A. Por lotanto una matriz cuadrada
de orden n tiene n autovalores que coinciden con los ceros de su polinomio caracter´ıstico, siempre y cuando
admitamos que puedan ser complejos y los contemos teniendo en cuenta su multiplicidad.
• Ejemplos. Obtener los autovalores y autovectores de las matrices siguientes.
1. A =

2
1

1
2

.

A − λI =

2−λ
1

p(λ) =

1
2−λ

2−λ
1

, por lo que el polinomio caracter´ısticoser´a

1
2−λ

= (2 − λ)2 − 1 = λ2 − 4λ + 3

Los autovalores son las soluciones de λ2 − 4λ + 3 = 0, es decir λ = 1 y λ = 3, lo que implica que el espectro
de A es σ(A) = {1, 3}. Pasemos ahora a calcular los autovectores.

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λ=1
Los autovectores v =

x
y

son soluciones del sistema
2
1

1
2

x
y

=

x
y

o lo que es lo mismo
x+y =0
x+y=0
de donde obtenemos que y = −x, por lo tanto V (1) =

x

1
−1

, x∈R .

λ=3
x
y

Al igual que antes, los autovectores v =
2
1

1
2

es decir

x
y

=3

x
y

−x + y = 0
x−y =0

luego y = x, por lo que V (3) =


son soluciones del sistema

1
2. A =  0
−2


2
0
2
0 .
−2 −1

p(λ) =

1−λ
0
−2

x

1
1


, x∈R .

1−λ
0
A − λI = 
−2
2
2−λ
−2

0
0
−1 − λ

2
2−λ
−2


0
0 
−1 − λ

= (2 − λ)(1 −...