temas variados

Bolet´ de la Asociaci´n Matem´tica Venezolana, Vol. XI, No. 2 (2004)
ın
o
a

191

Sistemas de numeraci´n, sistemas din´micos
o
a
substitutivos y fractales de Rauzy
V´
ıctor F. Sirvent
1

Introducci´n
o

En este trabajo se presenta una introducci´n a la representaci´n geom´trica de
o
o
e
sistemas din´micos substitutivos. Estas representaciones geom´tricas se basan
a
e
ensistemas de numeraci´n ad hoc asociados a la substituci´n. Y se obtienen
o
o
unos conjuntos fractales, conocidos como fractales de Rauzy. El objetivo de este
trabajo es mostrar como estos tres conceptos est´n relacionados. Se comienza
a
con dos ejemplos representativos, el caso Fibonacci y el caso Tribonacci, donde
se exponen las ideas principales que luego son usadas en el caso general, elcual
se presenta en la ultima secci´n.
´
o
Los sistemas din´micos substitutivos o substituciones est´n muy ligados con
a
a
la teor´ de tilings, la cual no se expone aqu´ Para ello ver [71, 67, 66]. Tampoco
ıa
ı.
se presentan aqu´ los aspectos relacionados con la teor´ erg´dica asociada a este
ı
ıa
o
tipo de sistemas din´micos.
a

2

El caso Fibonacci

Considere los n´meros deFibonacci fk+2 = fk+1 + fk con f0 = 1, f1 = 1. A
u
cada n´mero natural n se le puede representar de manera unica como suma de
u
´
n´meros de Fibonacci, siempre que no haya dos n´meros de Fibonacci consecuu
u
tivos. Es decir:
Proposici´n 2.1 ([76]) Dado n existe ni0 , . . . , nik tal que n = fni0 +· · ·+fnik
o
con nij > nij−1 + nij−2 , con 2 ≤ j ≤ k.
A esta representaci´n de los n´merosnaturales se le llama representaci´n de
o
u
o
Zeckendorff.
Esto nos permite, escribir n = i≥0 i (n)fi donde (n) = 0 (n) 1 (n) . . . es
una sucesi´n infinita en {0, 1} tal que no contiene dos “1” consecutivos y su cola
o
consiste de “0”. Consideremos la clausura de estas sucesiones en la topolog´
ıa
producto de {0, 1}N esto nos da el espacio:
F = {a = a0 a1 . . . | ai · ai+1 = 0 ∀i}.192

V. Sirvent

Aqu´ · es el producto usual de n´meros enteros.
ı
u
La relaci´n de recurrencia de los n´meros de Fibonacci est´ asociada a la
o
u
a
√
ecuaci´n polin´mica x2 = x + 1. La cual tiene como raices λ = (1 + 5)/2, la
o
o
raz´n dorada, y α = −1/λ.
o
Proposici´n 2.2 Sea J = [−1, −1/α]. Entonces
o
ai αi | a0 a1 . . . ∈ F} = J

{
i≥0

∞

Demostraci´n: Como α esnegativo, se tiene que 0 α2i = −1/α es la cota
o
∞
superior y 0 α2i+1 = −1 la cota inferior, por lo que
ai αi | a0 a1 . . . ∈ F} ⊂ [−1, −1/α].

{
i≥0

Por otro lado, considere las transformaciones h1 , h2 : J → J,
h1 (x) = αx

h2 (x) = α2 x + 1

Debido a que la uni´n de h1 (J), h2 (J) es J y sus interiores son disjuntos, a
o
cada elemento x de J se le puede escribir de la forma:
x =∩n≥1 hx1 · · · hxn (J)
para una cierta sucesi´n x1 x2 . . ., donde xi = 1 ´ 2. Debido a las expresiones
o
o
de h1 , h2 , el elemento de ∩n≥0 hx1 · · · hxn (J) es de la forma i≥0 ai αi , para un
cierto a ∈ F.
M´s a´n, si se definen f0 , f1 : J → J,
a u
f0 (x) = αx,
al elemento x =

f1 (x) = αx + 1

ai αi , se le expresa de la forma
x = ∩n≥0 fa0 · · · fan (J).

Como h1 = f0 y h2 = f1 ◦ f0 ,este hecho nos da la relaci´n entre a y la sucesi´n
o
o
x1 x2 · · · .
A continuaci´n se har´ un par´ntesis, en esta discusi´n, ya que se requiere
o
a
e
o
introducir unos conceptos b´sicos de fractales.
a
Definici´n 2.3 Un sistema iterativo de funciones o IFS (por sus siglas en
o
ingl´s: iterated function system) consiste en un espacio m´trico completo (X, d)
e
e
junto con unconjunto finito de contracciones fi : X → X con constante de
contracci´n 0 ≤ ci < 1, para i = 1, . . . , n. Se dice que el factor de contracci´n
o
o
del IFS es c = max{ci | i = 1, . . . , n}.

Fractales de Rauzy

193

0
0

1

Figura 1: Grafo Fibonacci

Denotaremos por H(X) el conjunto formado por todos los subconjuntos
compactos no vac´ de X. Este espacio tiene una distancia...