Teorame del valor medio

EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO
 TEOREMA DE ROLLE.-
Sea f continua sobre [a, b] , a < b , y diferenciable sobre < a, b > tal que f (a)= 0, f(b)= 0, entonces existe al menos un punto c en< a, b > que satisface f '(c)= 0
Antes de proceder con la demostración interpretaremos geométricamente este teorema. Según las condiciones dadas, la grafica de f no debe tener esquinas (ovértices) dentro de < a , b > y que para x = a y para x = b la grafica de f toca al Eje x. Así, es factible tener la figura siguiente.
En el caso de la primera figura existen hasta tres valores para talc . Note que en esta figura f no es diferenciable en a , pero este hecho no afecta al teorema pues a " < a , b > .
* PRUEBA DEL TEOREMA DE ROLLE :
 Si f(x) = 0 " x " < a , b>[constante], entonces cualquier c " < a , b > es válido pues f `(c) = 0 para todo c " < a , b >.
 Si f(xo) > 0 para algún xo "< a , b >, alcanza su MÁXIMO en algún punto c " [a ,b]:
f(c) = máx. ( f(x) / x " [a , b] , pero como f(c) " f(xo) > 0 y f(a) = f(b) = 0 entonces c " a y c " b; así, c " < a , b >. Y como f satisface en < a , b > entonces f ` (c) = 0.
Si f (xo) < 0 para algún xo " < a , b >, f alcanza su MINIMO en algún punto " " [a , b]:
f(c) " f(xo) < 0 ! c " b ! c " < a , b >; y como f satisface en <a , b > entonces: f`(c) = 0 (RECTA TANGENTE HORIZONTAL)
entonces
* NOTA.- En el teorema de Rolle, la condición de continuidad de f en [a , b] es obviamente muy importante, pues asegura que la grafica de f no tengasaltos bruscos dentro de [a , b].
Extenderemos el Teorema de Rolle a funciones que no necesariamente tocan al EJE X en ambos extremos de [a , b] y veremos las condiciones para que existan puntos " "< a , b > donde las rectas tangentes sean paralelas al segmento RS que tiene como pendiente:
 TEOREMA DEL VALOR MEDIO T.V.M (TEOREMA DE LAGRANGE).-
Sea f una función y a < b. Sí se...