teorema de green











INTRODUCCION:

Hasta ahora ha aprendido la integral de línea y algunas de sus aplicaciones. El siguiente paso consistirá en conocer el Teorema de Green, más adelante aprenderás sobre sus aplicaciones.

El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. Este tipo deteoremas resulta muy útil porque, dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad más simple entre integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales
Cruzadas sobre el recinto que delimita la curva.

TAREAS:

Antes de enunciar el teorema de Green convendría precisar queentendemos por una curva cerrada simple orientada positivamente. Sabemos ya que toda curva simple tiene dos posibles orientaciones, y que ´estas son invariantes por reparametrizaciones cuyas funciones de cambio de variables tiene derivada positiva. Ahora bien, ¿cómo distinguir entre una y otra orientación? ¿Qué hacer para privilegiar y reconocer una de las dos? Hay varios procedimientos paraconseguir esto. Quizá el más intuitivo sea el siguiente, que presenta el concepto de normal unitaria exterior a una curva.
Si C es una curva cerrada simple regular a trozos en R2, parametrizada por γ(t) = (x(t), y(t)), el vector normal unitario exterior a C se define por:







PROCESO:
Supongamos que ya hemos repasado las integrales de línea y algunas de sus aplicaciones ahora comencemos aestudiar el Teorema de Green.
Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, positivamente orientada, en el plano R2 y sea D la unión de la región interior a C con la propia curva C. Sea F = (P, Q): D −→ R2 un campo vectorial de clase C1. Entonces se tiene que:




Este tipo de teoremas resulta muy útil ya que dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre cual hay que integrarlo,podemos elegir la posibilidad más simple entre poder integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre el recinto que este delimitando la curva.

RECURSOS:

Una curva cerrada C que es frontera de una región elemental tiene dos orientaciones:
 
Ø      la contraria al sentido de las manecillas del reloj (positiva)
Ø      ladel sentido de las manecillas del reloj (negativa)
 
Denotemos C con orientación opuesta a la de las manecillas del reloj por C+ , y con la orientación de las manecillas como C
 




 
La frontera de una región y-simple se puede descomponer en sus partes inferior y superior C1 y C2 y (en su caso) segmentos verticales a la izquierda y derecha B1y B2 . Siguiendo la Figura 2, escribimos:
 C+ = C1+ + B2+ + C2- + B1-
 

 






Podemos hacer una descomposición semejante de la frontera de una región x-simple en trozos izquierdo y derecho, y (en su caso) segmentos horizontales superior e inferior.








 
Teorema de Green:
 Este teorema relaciona una integral de línea a lo largo de una curva cerrada simple en el plano con una integral doble en la regiónencerrada por C.
 
Teorema:
 
Sea D una región simple y sea MD su frontera descrita por una curva orientada C+. Supongamos que P : D à R y Q : D à R son de clase C1. Entonces:
 

 
 
 
El Teorema de Green también es válido para regiones que se pueden descomponer en varios trozos, cada uno de los cuales es simple. Por ejemplo si la región D es un anillo y su frontera consiste en dos curvas C =C1 + C2 con las orientaciones indicadas.






 
 
Si se aplica el Teorema a cada una de las regiones D1, D2 , D3  y D4 y se suman los resultados, se obtiene la identidad dada por el teorema de Green para D y su frontera C. El resultado es válido porque las integrales a lo largo de las líneas interiores opuestas se cancelan entre sí
 
El Teorema de Green es muy útil porque relaciona una...