TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
Sea A1,A2,...,An una partición sobre el espacio muestral y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B|Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:
P(B)=∑i=1nP(B|Ai)P(Ai)
DEMOSTRACIÓN
Por hipótesis tenemos una partición A1,A2,…,An del espacio muestral Ω. Por lo tanto el suceso B se puedeescribir como:
B= (B∩A1) ∪ (B∩A2)∪⋯∪(B∩An).
Ahora bien, los conjuntos B ∩ Ai son dos a dos disjuntos, ya que en caso contrario los Ai tampoco lo serían. En consecuencia
P (B)=P (B∩A1)+P(B∩A2)+⋯+P(B∩An).
Por último, se sabe que P (C∩D)=P(C|D)P(D) para cualesquiera sucesos C y D. Luego
P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+…+P(B|An)P(An)=∑i=1nP(B|Ai)P(Ai),
Que era lo que se quería demostrar.
EJERCICIOSUna fábrica de enlatados produce 5000 envases diarios. La maquina A produce 3000 de estos envases, de los que el 2% son defectuosos y la maquina B produce los 2000 restantes de los que se sabe que el 4% son defectuosos. Determinar la probabilidad de que un envase elegido al azar sea defectuoso.
Llamamos D al suceso seleccionar un envase defectuoso, hacemos un diagrama:Se trata de calcular la probabilidad total de que un envase elegido sea defectuoso.
Sumamos las ramas donde al final aparezca un envase defectuoso.
-Maquina A envase defectuoso: P(AnD)= P(A)xP(D/A)= P(AnD)= 3/5 x 0.02 = 0.012
-Maquina B envase defectuoso: P(BnD)= P(B)x P(D/B)= P(BnD)= 2/5 x 0.04= 0.016
P(D)= P(AnD) + P(BnD)= P(A) x P(D/A) + P(B) x P(D/B)= 0.012 + 0.016= 0.028TEOREMA DE BAYES
En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes  que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A. El teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de Adado B con la probabilidad de B dado A. 
Sea  un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales. Entonces, la probabilidad  viene dada por la expresión:

Donde:
 son las probabilidades a priori.
 es la probabilidad de  en lahipótesis .
 son las probabilidades a posteriori.
REGLA O FORMULA DE BAYES:
APLICACIONES
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan unaconfirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento.
EJERCICIOS
Se estima que el 15% de la población adulta padece de hipertensión, pero que el 75% de todos los adultos creen no tenereste problema. Se estima también que el 6% de la población tiene hipertensión aunque no es consciente de padecerla. Si un paciente adulto opina que no tiene hipertensión, ¿cuál es la probabilidad de que realmente sea hipertenso?
Consideramos los sucesos:
A1 = {el paciente tiene hipertensión},
A2 = {el paciente no tiene hipertensión},
Los cuales forman un sistema completo. Por hipótesis P(A1) =0.15, luego P(A2) = 0.85.
Por otra parte, consideramos los sucesos:
B1 = {el paciente es consciente de padecer hipertensión},
B2 = {el paciente no es consciente de padecer hipertensión}.
Conjugando los datos del problema con el hecho de que B1 y B2 son complementarios encontramos que
P(B1) = 0.25 y P(B2) = 0.75.
Por hipótesis se tiene que P(B2/A1) = 0.06. La probabilidad de que un...