teorema de pitagoras
Páginas: 2 (409 palabras)
Publicado: 24 de octubre de 2013
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Ejemplo 1
Supongamos el triángulo de catetos a y b (formando unángulo recto) y la hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b, es decir que a² + b² = c².
Si añadimostres triángulos iguales al original alrededor del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado. En efecto, si la figura central de lado c primeramente dibujada es uncuadrado, sus lados formarán ángulos rectos, entonces, si giramos el triángulo original 90º alrededor del centro del cuadrado, vendrá a ocupar un posición perpendicular a la original, de modo tal queel lado a será colineal al lado b y viceversa, formándose un cuadrado de lado a+b.
El área de éste cuadrado puede expresarse de dos maneras:
El cuadrado del lado:
A = (a+b)2 = a2 + 2·a·b + b2Suma del cuadrado original y los triángulos añadidos:
A = c2 + 4·(a·b/2) = c2 + 2·a·b
Igualando ambas expresiones:
a2 + 2·a·b + b2 = c2 + 2·a·b
y simplificando:
a2 + b2 = c2 , como queríamosdemostrar.
Ejemplo 2
Esta prueba es la traducción, en lenguaje matemático actual, de la ideada por el mismísimo Pitágoras que empleó la figura siguiente:
Alrededor del triángulo ABC, se construyen trescuadrados: el rojo, de área a2, el azul de área b2, y el bicolor verde anaranjado, de área c2.
- Los triángulos rectángulos ABC y HBC son semejantes (o similares) pues comparten el mismo ángulo B. Porlo tanto tenemos la igualdad de los cocientes: BH / BC = BC / BA, es decir a'/a = a/c (hoy en día , se diría que su valor es el seno de B). Por el producto cruzado: a2 = a'c, o sea que las áreas rojay anaranjada son iguales.
- De la misma manera, a partir de los triángulos ABC y HAC, se deduce que b'/b = b/c (sen A) y luego b2 = b'c, o sea que las áreas azul y verde son iguales.
Sumando las...
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Ejemplo 1
Supongamos el triángulo de catetos a y b (formando unángulo recto) y la hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b, es decir que a² + b² = c².
Si añadimostres triángulos iguales al original alrededor del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado. En efecto, si la figura central de lado c primeramente dibujada es uncuadrado, sus lados formarán ángulos rectos, entonces, si giramos el triángulo original 90º alrededor del centro del cuadrado, vendrá a ocupar un posición perpendicular a la original, de modo tal queel lado a será colineal al lado b y viceversa, formándose un cuadrado de lado a+b.
El área de éste cuadrado puede expresarse de dos maneras:
El cuadrado del lado:
A = (a+b)2 = a2 + 2·a·b + b2Suma del cuadrado original y los triángulos añadidos:
A = c2 + 4·(a·b/2) = c2 + 2·a·b
Igualando ambas expresiones:
a2 + 2·a·b + b2 = c2 + 2·a·b
y simplificando:
a2 + b2 = c2 , como queríamosdemostrar.
Ejemplo 2
Esta prueba es la traducción, en lenguaje matemático actual, de la ideada por el mismísimo Pitágoras que empleó la figura siguiente:
Alrededor del triángulo ABC, se construyen trescuadrados: el rojo, de área a2, el azul de área b2, y el bicolor verde anaranjado, de área c2.
- Los triángulos rectángulos ABC y HBC son semejantes (o similares) pues comparten el mismo ángulo B. Porlo tanto tenemos la igualdad de los cocientes: BH / BC = BC / BA, es decir a'/a = a/c (hoy en día , se diría que su valor es el seno de B). Por el producto cruzado: a2 = a'c, o sea que las áreas rojay anaranjada son iguales.
- De la misma manera, a partir de los triángulos ABC y HAC, se deduce que b'/b = b/c (sen A) y luego b2 = b'c, o sea que las áreas azul y verde son iguales.
Sumando las...
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