teorema de pitagoras
Páginas: 5 (1013 palabras)
Publicado: 19 de octubre de 2014
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados delos catetos.
Pitágoras de Samos
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a \, y b \,, y la medida de la hipotenusa es c \,, se establece que:
(1) c^2 = a^2 + b^2 \,
De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:
a = \sqrt {c^2 - b^2} b= \sqrt{c^2-a^2} c = \sqrt {a^2 + b^2}
Historia[editar]
El teorema de Pitágoras tiene estenombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que expongateóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.
Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos[editar]
Figura Euclides 1: La proposición I.412 de Euclides. La superficie del rectángulo ABCD es el doble de la de cualquiera de lostriángulos: sus bases son la misma –DC-, y están entre las mismas paralelas. Esto es cuanto necesita Euclides para demostrar el teorema de Pitágoras.
Figura Euclides 2: La proposición I.363 de Euclides: los paralelogramos ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por tener igual base, y estar comprendidos entre las mismas paralelas.
Figura Euclides 3: La demostración de Euclides es puramente geométrica.Su columna vertebral es la sencilla proposición I.412 de Los Elementos.
El descubrimiento de los números irracionales por Pitágoras y los Pitagóricos supuso un contratiempo muy serio.4 De pronto, las proporciones dejaron de tener validez universal, no siempre podían aplicarse. La demostración de Pitágoras de su teorema se basaba muy probablemente en proporciones, y una proporción es un númeroracional. ¿Sería realmente válida como demostración? Ante esto, Euclides elabora una demostración nueva que elude la posibilidad de encontrarse con números irracionales.
El eje de su demostración es la proposición I.475 de Los Elementos:
En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.Euclides (proposición I.47)
Basándose en la proposición I.412 de Los Elementos, que equivale a decir que a igual base y altura, el área del paralelogramo dobla a la del triángulo, (véase Figura Euclides 1).
Se tiene el triángulo ABC, rectángulo en C (véase Figura Euclides 3), y se construye los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa. La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamentese traza cuatro triángulos, iguales dos a dos:
Triángulos ACK y ABD: son iguales, pues siendo los lados AD y AC iguales y perpendiculares; y siendo AB y AK también iguales y formando igual ángulo que AD y AC, necesariamente el ángulo DAB es igual al ángulo CAK, por lo que BD=KC. Sus tres lados son iguales.
Triángulos ABG y CBI: análogamente, BA=BI, y BG=BC, así que AG=IC. Sus tres lados sonasimismo iguales.
Abundando en las anteriores consideraciones, nótese que un giro con centro en A, y sentido positivo, transforma ABD en ACK. Y un giro con centro en B, y sentido también positivo, transforma ABG en CBI. En la demostración de Leonardo da Vinci se encontrará nuevamente con giros que demuestran la igualdad de figuras.
Véase (en la Figura Euclides 3) que:
Las paralelas r y s...
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados delos catetos.
Pitágoras de Samos
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a \, y b \,, y la medida de la hipotenusa es c \,, se establece que:
(1) c^2 = a^2 + b^2 \,
De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:
a = \sqrt {c^2 - b^2} b= \sqrt{c^2-a^2} c = \sqrt {a^2 + b^2}
Historia[editar]
El teorema de Pitágoras tiene estenombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que expongateóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.
Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos[editar]
Figura Euclides 1: La proposición I.412 de Euclides. La superficie del rectángulo ABCD es el doble de la de cualquiera de lostriángulos: sus bases son la misma –DC-, y están entre las mismas paralelas. Esto es cuanto necesita Euclides para demostrar el teorema de Pitágoras.
Figura Euclides 2: La proposición I.363 de Euclides: los paralelogramos ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por tener igual base, y estar comprendidos entre las mismas paralelas.
Figura Euclides 3: La demostración de Euclides es puramente geométrica.Su columna vertebral es la sencilla proposición I.412 de Los Elementos.
El descubrimiento de los números irracionales por Pitágoras y los Pitagóricos supuso un contratiempo muy serio.4 De pronto, las proporciones dejaron de tener validez universal, no siempre podían aplicarse. La demostración de Pitágoras de su teorema se basaba muy probablemente en proporciones, y una proporción es un númeroracional. ¿Sería realmente válida como demostración? Ante esto, Euclides elabora una demostración nueva que elude la posibilidad de encontrarse con números irracionales.
El eje de su demostración es la proposición I.475 de Los Elementos:
En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.Euclides (proposición I.47)
Basándose en la proposición I.412 de Los Elementos, que equivale a decir que a igual base y altura, el área del paralelogramo dobla a la del triángulo, (véase Figura Euclides 1).
Se tiene el triángulo ABC, rectángulo en C (véase Figura Euclides 3), y se construye los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa. La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamentese traza cuatro triángulos, iguales dos a dos:
Triángulos ACK y ABD: son iguales, pues siendo los lados AD y AC iguales y perpendiculares; y siendo AB y AK también iguales y formando igual ángulo que AD y AC, necesariamente el ángulo DAB es igual al ángulo CAK, por lo que BD=KC. Sus tres lados son iguales.
Triángulos ABG y CBI: análogamente, BA=BI, y BG=BC, así que AG=IC. Sus tres lados sonasimismo iguales.
Abundando en las anteriores consideraciones, nótese que un giro con centro en A, y sentido positivo, transforma ABD en ACK. Y un giro con centro en B, y sentido también positivo, transforma ABG en CBI. En la demostración de Leonardo da Vinci se encontrará nuevamente con giros que demuestran la igualdad de figuras.
Véase (en la Figura Euclides 3) que:
Las paralelas r y s...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.