Teorema De Pitagoras

Algunas demostraciones
del Teorema de Pitágoras
Francisco Javier García Capitán

Introducci´n
o
Este art´
ıculo presenta algunas de las muchas demostraciones del teorema
de Pit´goras:
a
El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un tri´ngulo reca
t´ngulo es equivalente a la suma de los cuadrados descritos sobre
a
los otros lados.
El teorema, atribuido a Pit´goras (569-475 a.C.),o m´s bien a su esa
a
1
cuela, (los pitag´ricos), aparece como la Proposici´n I.47 . Por supuesto, la
o
o
demostraci´n de Euclides, con su figura del “molino de viento”no pod´ faltar
o
ıa
aqu´
ı.
Muchas otras demostraciones, de varias clases, pueden encontrarse en
los art´
ıculos de Yanney y Calderhead en la revista American Mathematical
Monthly ([1], [2], [3], [4]) y tambi´n en lap´ginas web de Alexander Bogoe
a
molny ([5]) y Eric Weisstein ([6]).
En todas las demostraciones, a menos que se especifique lo contrario, nos
referiremos a un tri´ngulo ABC, rect´ngulo en C con lados AB = c, BC = a
a
a
y CA = b.
1

Con esta notaci´n queremos indicar la Proposici´n 47 del Libro I de los Elementos de
o
o
Euclides.

1

1.

Demostraciones resultantes de relaciones
desemejanza entre tri´ngulos rect´ngulos
a
a

De este tipo de demostraciones, la m´s simple es la atribuda a Lagrange:
a
trazamos la perpendicular CD a AB. Obtenemos as´ tres tri´ngulos semeı
a
jantes.

C

y
b
=
b
c
c−y
=
a

a

b
x
y
A

c-y
D





yc = b2
⇒
a
c(c − y) = a2

c

⇒ c2 = a2 + b2 .

B

Una demostraci´n parecida consiste en trazar unaperpendicular a AB
o
desde A que corta a la prolongaci´n de BC en D.
o

A
x

c
b
y

D

a
C

B

c
=
y+a
a
b
=
y
b

a

c
c2 = a2 + ay
⇒ 2

b = ay


⇒ c2 = a 2 + b2 .

Hay much´
ısimas formas m´s de usar la semejanza de tri´ngulos para oba
a
tener el teorema de Pit´goras, aunque no son tan simples como las anteriores.
a
Como tercer ejemplo, consideremosun punto E sobre el cateto AC de manera que si trazamos por E una paralela a BC, resulta EC = ED. Se forman
los tri´ngulos semejantes ABC, ADE, AEF y EDF .
a
Sean x = ED = EC, y = DF , v = AF .
Entonces:
BC
ab
AC
=
⇒ bx = (b − x)a ⇒ x =
,
AE
DE
a+b
BC
AB
ac
a2 b
=
⇒ ax = yc ⇒ y =
=
.
DF
ED
c
(a + b)c
2

C
E

A

F

D

B

AB
AC
b3
=
⇒ cv = (b − x)b ⇒ v =AE
AF
(a + b)c
b3
AB
AC
b2
a2 b
=
⇒ c(b − x) = (v + y)b ⇒ c ·
=
+
b⇒
AD
AE
a+b
c(a + b) c(a + b)
⇒ c2 = a 2 + b2 .
Veamos una demostraci´n m´s que usa tri´ngulos semejantes, que Yanney
o
a
a
y Calderhead asignan a Hoffman.
Consiste en suponer cierto el teorema que queremos demostrar.
Entonces AB 2 = AC 2 + BC 2 , AC 2 = AD2 + CD2 y BC 2 = BD2 + CD2 .
Por tanto,

C

AD

B

AB 2 =AC 2 + BC 2 =
=AD2 + CD2 + BD2 + CD2
=AD2 + BD2 + 2CD2 =
=AD2 + BD2 + 2AD · BD =
=(AD + BD)2 .

Y como la igualdad AB = AD + BD que se deduce es cierta, tambi´n lo
e
es lo supuesto, y el teorema queda demostrado.
Evidentemente esta forma de razonar es incorrecta, pues podemos partir
de la igualdad falsa −1 = 1, elevar al cuadrado y obtener una igualdad
cierta 1 = 1.Para demostrar el teorema de Pit´goras usando la idea de la
a
demostraci´n de Hoffman, hagamos
o
AB 2 =(AD + BD)2 = AD2 + BD2 + 2AD · BD =
BC 2
AC 2
CD2 + 2CD2 +
CD2 =
=AD2 + BD2 + 2CD2 =
2
2
BC
AC
2
(AC 2 + BC 2 )
CD2
=
AC 4 + 2AC · BC + BC 4 =
,
AC 2 BC 2
AB 2
de donde, obtenemos AB 2 = AC 2 + BC 2 .

3

2.

Demostraciones basadas en propiedades
m´tricas de lacircunferencia
e

Tomando como centro uno de los extremos de
la hipotenusa, por ejemplo B, y radio dicha hipotenusa, trazamos una circunferencia.

D

Prolongamos el cateto AC a la cuerda AL y el
cateto BC al di´metro CD. Entonces
a

B

AC · CL = DC · CE
b · b = (c − a) · (c + a)
b2 = c2 − a2
c2 = a 2 + b2 .

A

C

L

E
La igualdad AC ·CL = DC ·CE es v´lida para
a
cualquier...