Teorema de senos

Teorema de los senos
Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.




Teorema del coseno
En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

Teorema de las tangentes

El diferencial
Como se ha señalado una variablecontinua presenta su posibilidad de cambio como cualidad esencial y en particular si en una situación se tiene una variable independiente x, se define al diferencial como aquella cantidad diferente de cero que satisface la cualidad:
;
O bien:

Hasta este punto, la definición del diferencial de una variable independiente no presenta ninguna cualidad diferente respecto a los incrementos que hagannecesaria y útil su definición; sin embargo, su importancia y utilidad se presenta cuando analizamos que ocurre en una función.
Una función cualquiera en un punto x0 dado se puede “aproximar linealmente” y esta aproximación es válida en puntos muy cercanos al x deseado, siempre que la función se aproxime mediante su recta tangente en el punto, como se muestra en la siguiente figura.


Fig.1: Aproximación lineal de una función en un punto

De la figura 1 se puede observar que la ecuación de la recta tangente que aproxima a la función dada en el punto x0resulta ser:
y – y0 = f ´(x0) (x – x0)
Pero la “aproximación lineal” es válida para valores de x muy cercanos a x0, ya que conforme x se aleja de x0, el error de la aproximación crece cada vez más ya que representa la separaciónentre la curva de f(x) y la recta tangente, luego la diferencia Δx = (x – x0)→0, es decir, en el límite resulta ser dx de acuerdo a nuestra definición previa, pero de la misma forma se puede observar que Δy = y – y0 por lo que sustituyendo en la ecuación de la recta tangente resulta:
dy = f´(x0) dx
Dicha cantidad dy = f´(x0) dx se denomina “diferencial de la función” en el punto x0 y susignificado se puede observar en la figura 2. Es importante señalar que en la notación diferencial de Leibniz para la derivada podemos simplemente despejar dy para encontrar a partir de dy/dx = f´(x) la misma expresión.


Fig. 2: Diferenciales e incrementos.

Se debe de tener presente que dy, es una condición límite cuando x→x0 y resulta idéntico a Δy cuando se evalúa dicho límite, en la figuraesta igualdad es observable cuando realizas la operación Δx→0.

Teoremas sobre diferenciales
En acuerdo a la definición dy = f ’(x0) dx, por lo que el cálculo del diferencial depende esencialmente de la determinación de la derivada, así por ejemplo para y = f(x) = 3x2 – 5x + 2, se tiene que dy = (6x – 5)dx.
Supongamos ahora dos funciones u(x) y v(x), luego si y = u(x)v(x), se tiene que:Lo cual nos muestra la forma típica de calcular los diferenciales de una función dada, esto es: se deriva la función dada y la expresión resultante se multiplica por el diferencial de la variable independiente, por ejemplo:
Si u(x) = 2cosx, y v(x) = 4x3; luego si y = 8x3cosx por lo que derivando resulta y´= 8(3x2cosx – x3senx) o bien al multiplicar por dx se obtiene dy = 8(3x2cosx –x3senx)dx.
Otra forma de cálculo resulta al aplicar la fórmula encontrada dy = udv + vdu, como en este caso du = –2senxdx , ydv = 12x2dx ; se tiene al sustituir:
dy = (2cosx)( 12x2dx) + (4x3)( –2senxdx) = 8 (3x2cosx – x3senx)dx
De la misma forma en que se ha encontrado el teorema dy = udv + vdu podemos demostrar los siguientes teoremas en los cuales u y v son funciones de x:




Si se revisacon cuidado cada uno de los teoremas anteriores, puedes encontrar con que cada una de estas fórmulas corresponde con las fórmulas del cálculo de derivadas.
En particular la notación de diferenciales permite trabajar la regla de la cadena de una manera muy simple, por ejemplo si tienes que:


Cálculo de aproximaciones empleando diferenciales
El uso de los diferenciales como medio de...