Teorema de stokes

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SAN LUIS POTOSÍ.
FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS.

MATEMÁTICAS APLICADAS I.

(PARCIAL 4)



A 09 de Noviembre de 2010, San Luis Potosí, S. L. P.

“TEOREMA DE STOKES”
INTRODUCCIÓN
El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Senombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes.
En resumen, el teorema del rotacional de Stokes nos dice que sean S una superficie abierta de dos caras, C una curva cerrada simple situada sobre la superficie anterior y A una función vectorialcon derivadas continuas.
CA∙dr= S(∇×A)∙n dS= S(∇×A)∙dS
en donde C se recorre en el sentido positivo. El sentido de circulación de C es positivo cuando un observador que recorra la periferia de S en dicho sentido y con su cabeza apuntando hacia la normal exterior a S, deja la superficie en cuestión a su izquierda.
DESARROLLO
El teorema fundamental del cálculo establece que la integral de unafunción f en el intervalo [a, b] puede ser calculada por medio de su antiderivada F de f:

El teorema de Stokes es una generalización de este teorema en el siguiente sentido:
* Para la F elegida, . En el lenguaje de las formas diferenciales es decir que f(x) dx es la derivada exterior de la 0-forma (como por ejemplo una función) F: dF = f dx. El teorema general de Stokes aplica para formasdiferenciales mayores ω en vez de F.
* En un lenguaje matemático, el intervalo abierto (a, b) es una variedad matemática unidimensional. Su frontera es el conjunto que consiste en los dos puntos a y b. Integrar f en ese intervalo puede ser generalizado como integrar formas en una variedad matemática de mayor orden. Para esto se necesitan dos condiciones técnicas: la variedad matemática debe serorientable, y la forma tiene que ser compacta de manera que otorgue una integral bien definida.
* Los dos puntos a y b forman parte de la frontera del intervalo abierto. Más genéricamente, el teorema de Stokes se aplica a variedades orientadas M con frontera. La frontera ∂M de M es una variedad en sí misma y hereda la orientación natural de M. Por ejemplo, la orientación natural del intervaloda una orientación de los dos puntos frontera. Intuitivamente a hereda la orientación opuesta a b, al ser extremos opuestos del intervalo. Entonces, integrando F en los dos puntos frontera a, b es equivalente a tomar la diferencia F(b) − F(a).
Por lo que el teorema fundamental se escribe:

TEOREMA DE STOKES PARA GRÁFICAS.
Sea S la superficie orientada definida por una función C2, z = f(x, y),donde (x, y) ∈ D, y sea F un campo vectorial C1 en S. Entonces, si S denota la curva frontera orientada de S según se definió antes, tenemos
Srot F∙dS= S∇×F∙dS= ∂SF∙ds.
TEOREMA DE STOKES PARA SUPERFICIES PARAMETRIZADAS.
Sea S una superficie orientada definida por una parametrización uno a uno Φ: D∁ R2 S. Denotemos por S la frontera orientada de S y sea F un campo vectorial C1 en S.Entonces
S∇×F∙dS= ∂SF∙ds.

EL CLÁSICO TEOREMA DE KELVIN-STOKES:

que relaciona la integral de superficie del rotacional del campo vectorial sobre una superficie Σ en el 3-espacio euclidiano a la integral de línea del campo vectorial sobre su borde, es un caso especial del teorema de Stokes generalizado (con n = 2) una vez que identifiquemos el campo vectorial con una 1-forma usando la métricaen el 3-espacio euclidiano.
El teorema fundamental del cálculo y el teorema de Green son también casos especiales del teorema de Stokes generalizado.
Otra forma de escribir el mismo teorema es la siguiente:

Donde A vector es un campo vectorial cualquiera.
Establece que la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial sobre una superficie abierta es igual a la integral cerrada...