Teorema de tales

Semejanza. Teorema de Tales
Dos polígonos son semejantes si los ángulos
correspondientes son iguales y los lados
correspondientes son proporcionales.

ABCDE ≈ A ' B' C' D' E' si:
ˆ =C
ˆ ', D
ˆ =D
ˆ ' , Eˆ = Eˆ'
⎧Aˆ = Aˆ ' , Bˆ = Bˆ' , C
⎪
⎨ AB
BC
CD
DE
EA
=
=
=
=
=r
⎪
⎩ A ' B' B' C' C`D' D' E' E' A '

Los elementos que se corresponden se llaman homólogos.
Se llama razón de semejanza r a laconstante de proporcionalidad entre los lados homólogos.

Teorema de Tales
Si dos rectas secantes r, s están cortadas por paralelas a, b, los segmentos que determinan sobre
una de las secantes son proporcionales a los segmentos que determinan en la otra secante
OA OA '
=
a)
AB A ' B'
También se cumple:
OA OA '
b)
=
OB OB'
OA OB
c)
=
AA ' BB'
Triángulos en posición de Tales:

Dos triángulos están enposición de Tales
si dos lados de los dos triángulos están a les mismas semirectas d’origen
común o prolongaciones y el tercer lado de un triángulo es paralelo al
tercer lado del otro triángulo.
Dos triángulos en posición de Tales
son semejantes

Criterios de semejanza de triángulos.
∆

∆

Sean los triángulos ABC,

A ' B' C'

Criterio 1.

Si Aˆ = Aˆ ' ,

A ' B'

=

AB

∆

∆

, entonces, ABC ≈ A ' B'C'

A ' C' AC
Es decir, dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados correspondientes que
formen el ángulo proporcionales
Criterio 2.
∆

∆

Si Aˆ = Aˆ ' , Bˆ = Bˆ' , entonces, ABC ≈ A ' B' C'
Es decir, dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos correspondientes iguales.
Criterio 3.
∆
∆
A ' B' B' C' A ' C'
Si
=
=
, entonces, ABC ≈ A ' B' C'
AB
BC
AC
Es decir, dostriángulos son semejantes si tienen los tres lados correspondientes proporcionales.

Relación entre los polígonos semejantes.
Razón de los perímetros de dos polígonos (figuras) semejantes.

La razón de los perímetros de dos polígonos
semejantes es igual a la razón de semejanza.
Consideramos los polígonos semejantes
ABCD y A’B’C’D’.
Sea r la razón de semejanza.
Entonces:
a' b' c ' d'
= = = =r
a b c dperímetro A ' B' C' D'
a'+b'+c '+d' r(a + b + c + d)
=
=
=r
perímetro ABCD
a+b+c +d
a+b+c +d
Esta relación es cierta para cualquier par de segmentos homólogos que se tomen sobre los
polígonos semejantes.
Por ejemplo, las diagonales de un cuadrado son semejantes y tienen la misma razón de
semejantes que la de los cuadrados.

Razón de les áreas de dos polígonos (figures) semejantes.

La razón deles áreas de dos polígonos
semejantes es igual al cuadrado de la razón
de semejanza.
Consideramos los rectángulos semejantes
ABCD y A’B’C’D’.
Sea r la razón de semejanza.
Entonces:
a' b'
= =r
a b
Podemos obtener las siguientes relaciones:

área A ' B' C' D' a'⋅b' r 2 ⋅ a ⋅ b
=
=
= r2
área ABCD
ab
a⋅b

Razón de los volúmenes de dos cuerpos semejantes.
La razón de los volúmenes de dos cuerpossemejantes
es igual al cubo de la razón de semejanza.
Consideremos los paralelepípedos semejantes:
Entonces:
a' b' c '
= = =r
a b c
Podemos obtener las siguientes relaciones:
Volumen P2 a'⋅b'⋅c ' r 3 ⋅ a ⋅ b ⋅ c
=
=
= r3
Volumen P1 a ⋅ b ⋅ c
a⋅b⋅c

Planos, mapas y maquetas.
Planos y mapas son figures semejantes a la proyección del objeto real sobre el plano (o mapa).

Se llama escala a la razón desemejanza entre las figuras del plano (o mapa) y la realidad.
Se representa de la forma 1:r. Su significado es: 1 unidad del plano corresponde a r unidades de
la realidad.
Maquetas son construcciones de cuerpos semejantes a cuerpos de la realidad. Las maquetas
también se realizan mediante una escala.

Ejercicios de autoaprendizaje.
Ejercicio 1
Aplicando el teorema de Tales divide un segmento en 3 partesiguales:
Solución:
Dibujamos el segmento AB
Dibujamos una semirecta de origen el punto A.
Con el compás dibujamos los puntos X, Y, Z
tal que AX = XY = YZ
Dibujamos la recta r que pasa por los puntos B, Z.
Dibujamos las rectas s, t paralelas a la
recta r que pasan por los puntos Y, X, respectivamente.
Hacemos la intersección de las rectas s, t y el segmento AB
que determinan los puntos D, C...