Teorema Del Seno y El Coseno

Teorema del Seno y el Coseno

Índice

1. Teorema del Seno
1.1 Demostración
1.2 Aplicación
1.3 Relación con el área del triangulo
1.4 Ejemplos
2. Teorema del coseno
2.1 Historia
2.2 El teorema y sus aplicaciones
2.3 Demostraciones
2.3.1 Por desglose de aéreas
2.3.2 Por teorema de Pitágoras
2.3.3 Por la potencia de un punto con respecto a uncirculo
2.3.4 Por el cálculo vectorial
2.4 Ejemplos
3. Ejercicios de aplicación
4. Practica

1. Teorema del Seno

En trigonometría, el teorema del seno  es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.
Usualmente se presenta de la siguiente forma:

Si en un triángulo ABC, las medidasde los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces

asen A=bsen B=csen C

1.1 Demostración
A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una demostración particularmente simple, es poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida (aunque muy elegante).
Dado el triángulo ABC,denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO  hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC . Por definición de la función trigonométrica seno, se tienesenA=senP=BCBP=a2R
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.
La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:
Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio dela circunferencia circunscrita, entonces:

asen A=bsen B=csen C=2R

1.2 Aplicación
El teorema del seno es utilizado para resolver problemas en los que se conocen dos ángulos del triángulo y un lado opuesto a uno de ellos. También se usa cuando conocemos dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de ellos.

1.3 Relación con el área del triángulo

Dos fórmulas para calcular el área de un triánguloPara un triángulo ABC, el área se calcula como ah/2 donde h es la medida de la altura sobre la base a. Nuevamente, por definición de seno, se tiene sen C = h/b o lo que es lo mismo h = b sen C, de modo que se cumple

Area=ah2=ab sen C2

Sin embargo, el teorema de los senos implica que c = 2R sen C, por lo que al substituir en la expresión anterior se obtiene un nuevo teorema:

Area=ah2=absen C2=abc4R

1.5 Ejemplos



2. Teorema del coseno

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos,y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

c2=a2=b2- 2ab cosγ

3.1 Historia
Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulaciónde la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.2 Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:
«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado...