Teorema en la recta

TEOREMAS EN LAS RECTAS PARALELA
DEFINICION
Se denominan rectas paralelas a las líneas que mantienen una equidistancia entre sí, y que, aunque prolonguemos su trayectoria hasta el infinito, nunca, en ningún punto sus trazos pueden bifurcarse, tocarse, encontrarse. Es decir, entre ambas líneas (aunque pueden ser planos lineales de mayor dimensión, como ya veremos) se establece una relación deparalelismo.

Teorema 1.3
Por un punto exterior a una recta se puede trazar una recta paralela a esta y solo una.

(a)

 Por A solo se puede trazar , paralela a



Para prevenir accidentes en las construcciones, es necesario que los obreros se desplacen por soportes -que ellos mismos hacen-, orientados paralelamente al suelo en forma cuidadosa.


Demostración
Tengamos en cuenta elquinto postulado de Euclides.


El hecho de que por un punto exterior P a una recta se puede trazar una recta , paralela a , ya se demostro en el Tomo 1 (Una visión de la planimetría). Probaremos ahora que si solo puede suceder que a + β = β +y =2R (donde R representa la medida de un ángulo recto). Si no fuera así sucedería, por ejemplo, que a+6180°, y se intersecarian por la zona
B; comohemos supuesto que son paralelas, entonces, a + 0 = β+ y = 2R. Ahora, el hecho de que Euclides es la única paralela a , se deduce facilmente. Supongamos que existe otra que pasa por P, entonces, a' + 8 = 2R; pero como a + 0 = 2R, se sigue que a = a' y, por lo tanto, coincide con , (es la misma).


Teorema 1.4
'Si la recta es paralela a la recta y a entonces, las rectas y ason paralelas.



(a)
En la figura, si


Demostración
El caso en que las rectas están en un plano ha sido considerado en el estudio de la planimetria.
Supongamos, por eso, que las rectas no se hallan en un piano.




Sea P el piano en el que están las rectas y y sea Q el plano en el que se encuentran las rectas y . Los planos P y Q son distintos; así, probaremos queUbiquemos en la recta un punto B y tracemos el plano Q' determinado por y el punto B. Este plano tiene dos posibilidades:
1. El plano no contiene a
Supongamos que el plano Q' interseca al plano P según una recta (distinta de ); entonces interseca a , en , de aquí se deduce que el plano Q' coincide con el plano Q ya que ambos contienen a la recta , y a un punto exterior a ellasque es el punto A. Esta deducción contradice la idea de que el punto B pertenece a entonces, nuestra suposición no es válida y, por lo tanto, el plano si contiene a
2. El piano contiene a .
Bajo estas condiciones, y coplanares. Ahora faltara demostrar que y no son secantes.
Si suponemos que y son secantes en E, entonces el plano P contiene a , y al punto E; así también el plano Qcontiene a y el punto E, por lo tanto, los planos P y Q coincidirían, lo cual es imposible.
Por consiguiente, queda demostrado que es paralela a .

TEOREMAS EN EL PARALELISMO DH LA RECTA Y DEL PLANO
Teorema 1.5
Si los pianos P y Q se intersecan en la recta m y la recta l está contenida en el plano Q, además es paralela al plano P, entonces es paralela a



Si
Demostración
Sabemosque no tiene puntos comunes con el piano P; entonces, si las rectas l y m fueran secantes, se concluye que la recta l, seria secante con el plano P, lo que contradice la condición. Por consiguiente, las rectas l y m son paralelas.

Teorema 1.6
Para que una recta l, no contenida en el plano H, sea paralela a dicho plano, es necesario y suficiente que la recta l, sea paralela a una rectacontenida en el plano H.


Si
Demostración
Sea la recta l, y el piano H paralelos.

Demostremos que en el plano H se tiene una recta m paralela a la recta l. Tracemos el plano Q a través de la recta l y de cierto punto M que pertenece al plano H. Entonces, la recta l es paralela a la recta m, que es la intersección de los planos H y Q.
Demostremos ahora la afirmación recíproca: si en el...