Teorema Fundamental De Calculo

El Teorema Fundamental del Cálculo
Dada una función integrable podemos definir una nueva función por para todo . Nuestro próximo objetivo va a ser estudiar dicha función. Recuerda que . Porsupuesto, si f es una positiva entonces es el área de la región del plano limitada por la gráfica de f , el eje de abscisas y las rectas y=a, y=x. No debes olvidar en lo que sigue que se ha definido entérminos de áreas.
El comando “Area Func[f[x], {x, a, b}, n, {ymin, ymax}]” da como salida n gráficas y en cada una de ellas representa la gráfica de f, la región en azul, y la gráfica de , en rojo, en elintervalo [a,a+k(b-a)/n], para 1<= k <= n. Además, en cada caso da el valor de . Para usar el comando tienes que fijar los valores “ymin” e “ymax” que determinan el intervalo del eje de ordenadasen que se representarán las funciones. Experimenta con distintas funciones y fíjate si la función te resulta conocida en algunos casos.

Teorema Fundamental del Cálculo
Sea una función integrabley definamos por para todo x en [a,b]. Entonces:
i) F es continua en [a,b].
ii) En todo punto c de [a,b] en el que f sea continua se verifica que F es derivable en dicho punto siendo . En particular,si f es continua en [a,b], entonces F es derivable en [a,b] y para todo x en [a,b].
Demostración.
i) Como f es integrable debe estar acotada. Sea tal que para todo x en [a,b]. Entonces, si x < yson puntos de [a,b] tenemos que:
Por la misma razón, si suponemos que y < x, tendremos que . Estas dos desigualdades nos dicen que para todo par de puntos x, y de [a, b]. De esta desigualdad sesigue inmediatamente la continuidad de F en [a, b].
ii) Pongamos
Dado, e>0, la continuidad de f en c nos dice que hay un δ>0 tal que para todo t ε [a,b] tal que se tiene que . Tomemos ahora unpunto cualquiera x ε [a,b] tal que . Entonces es claro que para todo t comprendido entre x y c se tendrá que y, por tanto, por lo que . Deducimos que para todo x ε [a,b] tal que , x ¹ c, se...