teorema lagrange

Cap´ıtulo

3
Teorema de Lagrange
3.1

Introducci´
on

En este cap´ıtulo estudiaremos uno de los teoremas m´as importantes
de toda la teor´ıa de grupos como lo es el Teorema de Lagrange. Daremos en primer lugar una serie de resultados b´asicos que se derivan de la
definici´on de grupos. Posteriormente se introduce el concepto de subgrupo y en especial se estudian las propiedades de losgrupos cicl´ıcos.
Si H es un subgrupo de un grupo finito G, entonces el Teorema
de Lagrange establece que el orden de H es un divisor del orden de
G. Este resultado genera una serie de propiedades interesantes de los
grupos finitos de tipo estructural. Finalizamos el cap´ıtulo con el estudio
de las clases laterales de un subgrupo H de G.

3.2

Resultados Preliminares

En esta secci´ondemostramos algunos hechos b´asicos sobre grupos,
que se pueden deducir de la definici´on 1.3.1.
Lema 3.2.1 Si G es un grupo entonces
a) El elemento identidad es u
´nico.
b) Todo a ∈ G tiene un inverso u
´nico en G.
c) Para todo a ∈ G, (a−1 )−1 = a.
d) Para todo a, b ∈ G, (a · b)−1 = b−1 · a−1 .
Demostraci´
on: a) Sean e y f dos elementos identidad en G. Entonces
se tiene la ecuaci´on.e = e · f = f,
25

26

Cap´ıtulo 3. Teorema de Lagrange

de donde
e=f
b) Supongamos que un elemento a ∈ G posee dos inversos x e y.
Luego
x·a=a·x=e
y·a=a·y =e
Luego
y(a · x)
(y · a) · x
e·x
x

=
=
=
=

y·e=y
y
y
y

c) Para a ∈ G, se tiene
a−1 · a = e
a · a−1 = e
Luego a es el inverso de a−1 , u
´nico, y por lo tanto (a−1 )−1 = a.
d) Sean a, b ∈ G. Luego
(a ·b)(b−1 a−1 ) =
=
=
=

a · (b · b−1 ) · a−1
(a · e) · a−1
a · a−1
e

3.2. Resultados Preliminares

27

Similarmente
(b−1 a−1 )(a · b) =
=
=
=

b−1 · (a−1 · a) · b
b−1 · e · b
b−1 · b
e

Por lo tanto
(a · b)−1 = a−1 · b−1 .
♠
Proposici´
on 3.2.1 Sean a y b en el grupo G. Entonces las ecuaciones

a·x = b
y · a = b,

(3.1)
(3.2)

poseen soluci´on u
´nica: x = a−1 ·b ; y = b · a−1 .

Demostraci´
on: Multiplicando (??) por a−1 a la izquierda tenemos
a−1 · (a · x)
(a−1 · a) · x
e·x
x

=
=
=
=

a−1 · b
a−1 · b
a−1 · b
a−1 · b

Similarmente, multiplicando (??) por a−1 a la derecha tenemos

28

Cap´ıtulo 3. Teorema de Lagrange

(y · a)a−1
y · (a · a−1 )
y·e
y

=
=
=
=

b · a−1
b · a−1
b · a−1
b · a−1

♠
Lema 3.2.2 Sean a,u, w elementos en G. Entonces valen las siguientes leyes de cancelaci´
on en G.
a · u = a · w implica
u · a = w · a implica

Demostraci´
on: La ecuaci´on
a·u=a·w
posee soluci´on u
´nica
u =
=
=
=

a−1 (a · w)
(a−1 · a)w
e·w
w

Similarmente, la ecuaci´on
u·a=w·a
posee soluci´on u
´nica

u=w
u=w

(3.3)
(3.4)

3.2. Resultados Preliminares

u =
=
=
=

29

(w ·a)(a−1 )
w(a · a−1 )
w·e
w

Ejercicios
1) Sea m un entero positivo fijo. Diremos que dos enteros a y b son
congruentes m´
odulo m y lo denotamos por:
a ≡ b mod m,
si m divide a b − a
Probar que la relaci´on de congruencia m´odulo m en el conjunto ZZ
es una relaci´on de equivalencia.
2) Para cada entero a en ZZ , se define su clase de congruencia
m´
odulo m, como el conjunto formadopor su clase de equivalencia
[a] = {x ∈ ZZ |x ≡ a mod m}
El conjunto formado por todas estas clases se llaman Enteros m´
odulo m y se denota por ZZm .
Probar que ZZm es un grupo, bajo la operaci´on de suma m´odulo m,
definida por:
[a] + [b] = [a + b]
¿Cu´al es el elemento neutro de este grupo? Construya una tabla
para la operaci´on de suma m´odulo 7.
3) Demuestre que todo grupo de orden≤ 5 debe ser abeliano.
4) Probar que si G es un grupo abeliano y a, b pertenecen a G, entonces
(ab)n = an bn

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Cap´ıtulo 3. Teorema de Lagrange

para todo entero n ≥ 0.
5) Sea G un conjunto no vac´ıo cerrado con una operaci´on asociativa,
tal que
i) Existe un elemento e ∈ G tal que
ae = a
para todo a ∈ G.
ii) Para todo a ∈ G existe un elemento a , tal que
aa=e
probar que G es...