Teorema: Multiplicadores de Lagrange

Teorema de los Multiplicadores de
Lagrange.



An´lisis Real I.
a

a

1

´
Indice
1. Introducci´n.
o

3

2. Teorema de los Multiplicadores de lagrange

5

3. Ejercicios Planteados para el Lector.

9

2

1.

Introducci´n.
o

T´pico matem´tico en el que esta inserto el trabajo:
o
a
Diferenciaci´n en Rn .
o
Objetivo: Desmotrar el teorema de losmultiplicadores de Lagrange y
presentar ejemplos del teorema para alumnos que cursen el ramo MAT 244,
An´lisis Real 1 (s´lo nos enfocaremos en hallar extremos condicionados).
a
o
Rese˜ a historica:
n
El metodo de los Multiplicadores de Lagrange fue ideado por Joseph
Louis Lagrange (por el cual ademas lleva su nombre).Este matem´tico, f´
a
ısico y astron´mo consideraba que este era su mejor trabajorealizado en el
o
a
´rea de las m´tematicas, y que era fruto de su obra mas profunda, la cu´l
a
a
era la resoluci´n de problemas de optimizacion. Lagrange envi´ una carta
o
o
a Euler para presentar y demostrar el nuevo m´todo que habia encontrado
e
para resolver problemas de m´ximos y m´
a
ınimos , el cual aplico para investigar acerca de una part´
ıcula en el espacio restringida sobreuna superficie
definida mediante una ecuacion de la forma g(x, y, z) = 0.
¿ Para qu´ utilizamos el m´todo de Mutiplicadores de lagrange?
e
e
El m´todo de Multiplicadores de Lagrange nos ayuda a resolver problee
mas de optimizaci´n de una funci´n que esta sujeta a una o mas restricciones,
o
o
minimizando nuestro problema inicial de m variables a la resoluci´n de un
o
sistema de m + bvariables, donde b corresponde al n´mero de restricciones
u
(que corresponden a los multiplicadores de Lagrange que debemos encontrar,
uno por cada restricci´n). Al resolver este sistema encontraremos extremos
o
condicionados de la funci´n restringida (que satisfacen cada restricci´n), los
o
o
cuales son candidatos para m´ximos y m´
a
ınimos.
Observaci´n 1. La condici´n del m´todo deMultiplicadores de Lagrange
o
o
e
es una condici´n necesaria pero no una condici´n suficiente, es decir, poo
o
demos encontrar extremos condicionados de la funci´n restringida, pero no
o
necesariamente estos sean m´ximos o m´
a
ınimos.
Observaci´n 2. El significado de λ (multiplicador):
o
Para interpretar λ, notamos la forma en que el valor ´ptimo de la funo
ci´n f (funci´n objetivo), cambiaconforme var´ el valor c de la funci´n
o
o
ıa
o
g (funci´n restricci´n). El punto ´ptimo (x0 , y0 ) depender´ en general del
o
o
o
a
valor de la restricci´n del valor c. De esta manera , siempre que x0 y y0
o
sean funciones diferenciables de c, es posible usar la regla de la cadena para

3

calcular la derivada del valor ´ptimo f (x0 (c), y0 (c)) con respecto a c.
o
df
∂f dx0∂f dy0
=
·
+
·
dc
∂x dc
∂y dc
Luego en el punto (x0 , y0 ) se tiene que fx = λgx y fy = λgy , por lo que:
df
∂g dx0 ∂g dy0
dg
= λ(
·
+
·
)=λ ,
dc
∂x dc
∂y dc
dc
a medida que g(x0 (c), y0 (c)) = c, podemos observar que
zando en lo anterior tenemos que:

dg
dc

= 1, y reempla-

df
=λ
dc
As´ podemos concluir que el valor de λ es la rapidez de cambio del valor
ı
optimode f a medida que c aumenta donde g(x0 , y0 ) = c. Si el valor optimo
´
de f se escribe como f (x0 (c), y0 (c)), entonces se tiene que
d
f (x0 (c), y0 (c)) = λ.
dc

4

2.

Teorema de los Multiplicadores de lagrange

Teorema 1. (Teorema de los multiplicadores de Lagrange para una restricci´n.) Sea U ⊆ Rn+1 abierto, f : U → R diferenciable, sea S ⊆ U una
o
hiperficie definida por S = g−1 (c) ⇔ g(x0 ) = c, donde g : U → R de clase
C k y c ∈ R es valor regular de g, entonces x0 ∈ S es punto cr´
ıtico de f |S ,
si y s´lo si, existe λ ∈ R, tal que: f (x0 ) = λ g(x0 ).
o
Demostraci´n: Para n = 3 el espacio tangente o plano tangente de S =
o
{x ∈ U : g(x) = 0} en x0 es el espacio ortogonal a g(x0 ) y para un vector
n arbitrario podemos dar la misma definici´n de espacio...