Teoremas de las funciones

Teoremas sobre funciones continuas
Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones continuas.
Teorema de Weierstrass: Si f es continua en entonces presenta máximos y mínimosabsolutos.
Teorema de Bolzano: Si f es continua en y y , entonces tal que
Teorema del valor intermedio: Si f es continua en y entonces tal que
[editar]Derivada y continuidad
Las funcionesderivables son continuas. Si una función es derivable en x= a entonces es continua en x= a. De modo que la continuidad es una condiciòn necesaria para la derivabilidad. O el conjunto de las funcionesderivables es parte de las funciones continuas.
[Mostrar] Demostración
Es importante notar que el recíproco no es válido; es decir que nada se puede afirmar sobre la derivabilidad de una funcióncontinua. Un ejemplo claro de esta situación es la función valor absoluto f(x)= |x| que si bien es continua en todo su dominio no es derivable en x= 0. Incluso hay funciones continuas en todo pero noderivables en ningún punto (las funciones del movimiento browniano verifican esto con probabilidad 1).Sobre estro consultar con Spivak en su Calculus.
[editar]Clase de continuidad
Una función , sedice:
de clase si está definida en todo el dominio junto con sus derivadas hasta orden y todas ellas son continuas.
Una función continua aunque no diferenciable en todo el domino, se dice que esde clase .
Una función es de clase si tiene derivadas continuas de cualquier orden. Aunque muchas sí lo son, no toda función de este tipo es analítica.
Una función es de clase si es la derivadaen el sentido de las distribuciones de una función de clase .
Una función generalizada se dice de clase si es la derivada k-ésima en el sentido de las distribuciones de una función de clase .[editar]Funciones continuas en espacios topológicos

Sean e dos espacios topológicos. Una aplicación se dice que es continua si:
es un abierto de , cualquiera que sea el abierto de . Esta es la...