Teoremas de mohr

Tema 2.- Hiperestatisme en la flexió Lliçó 2.- Teoremes de Mohr

Curvatura d’una barra sotmesa a flexió pura simètrica
ε
M

σ

σ=

θ ρ
y 1

M⋅ y I

σ = ε ⋅E

θ ε σ
TensionsDeformació

M⋅ y = ε ⋅E I

1

θ ≅ tg θ =

ε y
M =θ E ⋅I

M ε = E ⋅I y

1= θ⋅ρ

1 θ = = Curvatura ρ

M 1 = E ⋅I ρ

Flexió simple simètrica
dθ

ρ

El moment flector varia al llargde la longitud de la barra. El radi de curvatura ρ és variable.

ds = ρ ⋅ dθ dx = ds ⋅ cos θ
ds dx

1 dθ M = = ρ ds E ⋅ I
cos θ ≅ 1

θ
dθ

dθ = θcd =
xd xc

M ⋅ dx E ⋅I dθ =
xd xctg(C)

C

D

M ⋅ dx E ⋅I

tg(D)

Si EI és constant:

tg(D)

θcd
tg(C)

θcd =

1 ⋅ E ⋅I

xd xc

M ⋅ dx

1er Teorema de Mohr
L’angle que formen dues tangents a la deformada d’unabiga, traçades per dues seccions A i B, és igual a l’àrea del diagrama de moments flectors, compresa entre les dues seccions A i B, dividida pel producte EI

tg(A)

A

B

tg(B)

tg(B)θab
tg(A)
A

Ωab

B

Diagrama de Moments Flectors

tg(C)

C

D

Descens vertical d’una secció D respecte a la tangent traçada per una altra secció C
δd
c

tg(C)

M ⋅ dx dθ = E ⋅Ixd − x dδ = ⋅ dθ cos θ

tg(C)

C

dx ds

D

Com que les deformacions són petites:

cos θ ≅ 1

dδ

x xD

dθ tg(C)

dδ = (x d − x ) ⋅ δ d← c =
xd xc

M ⋅ dx E ⋅I

xD - x
θdθ dδ

dδ =

xd xc

M ⋅ (x d − x ) ⋅ dx E ⋅I

Si EI és constant:
xD - x

cos θ

δ d← c =

1 ⋅ E ⋅I

xd xc

M ⋅ (x d − x ) ⋅ dx

Descens vertical d’una secció D respecte a latangent traçada per una altra secció C

tg(C)

C

D

δ d← c =
δd
c

1 ⋅ E ⋅I

xd xc

M ⋅ (x d − x ) ⋅ dx

tg(C)

Diagrama de Moments Flectors
C

dx

D

xd xc

d M ⋅ (x d − x ) ⋅dx = Ucd

x

xD - x

d Ucd = Moment estàtic del diagrama

de moments, entre les seccions C i D, respecte a la secció D

2on Teorema de Mohr
tg(C)
C D

δd

c

tg(C)
C

Ωcd...