teoria de colas

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UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID
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FACULTAD DE INFORMATICA

SISTEMAS DE COLAS EXPONENCIALES

Ma ISABEL RODR´
IGUEZ GALIANO

Madrid, Junio de 2002

´
Indice
1 Introducci´n
o

1

2 Sistema de Colas M/M/1

3

3 Sistema de Colas M/M/1/K

11

4 Sistema de Colas M/M/c

14

5 Sistema de Colas M/M/∞

18

6 Sistema de Colas M/M/c/c

20

7 Sistema de ColasM/M/1/K/K

22

8 Sistema de Colas M/M/c//K o M/M/c/K/K

27

Bibliograf´
ıa

29

Ap´ndice
e

30

Gr´fico de la F´rmula C de Erlang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
a
o
Gr´fico de la F´rmula B de Erlang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
a
o

I

1

Introducci´n
o
La teor´ de colas estudia la construcci´n y el an´lisis demodelos matem´ticos de sistemas
ıa
o
a
a

que dan servicio a clientes cuyos tiempos de llegada y requisitos de servicio son aleatorios.
Las dos cuestiones b´sicas son el an´lisis y el dise˜ o de tales sistemas. Las primeras se rea
a
n
fieren a evaluar ciertas medidas del comportamiento de sistemas con par´metros y reglas de
a
operaci´n completamente especificadas. Los problemas de dise˜ o serefieren a la determinaci´n
o
n
o
de par´metros y reglas de operaci´n que den valores satisfactorios en las medidas de compora
o
tamiento.
El modelo b´sico de colas, a partir del que se pueden construir otros m´s complicados,
a
a
consta de tres elementos:
1. el proceso de entrada describe las propiedades estad´
ısticas de los instantes entre llegadas
de clientes. T´
ıpicamente, vieneexpresado en t´rminos de la distribuci´n entre llegadas.
e
o
2. el mecanismo de servicio especifica el n´ mero de servidores y las propiedades estad´
u
ısticas
de los tiempos de servicio.
3. la disciplina de cola describe el comportamiento de los clientes que encuentran todos los
servidores ocupados.
Se ha desarrollado una notaci´n espec´
o
ıfica para describir los sistemas de espera. Sedenomina notaci´n de Kendall, en honor a David Kendall, al cu´l se debe en su mayor parte. Esta
o
a
notaci´n es de la forma A/B/c/K/m/Z donde A indica la distribuci´n del tiempo entre lleo
o
gadas, B la distribuci´n del tiempo de servicio, c el n´ mero de servidores o canales de servicio,
o
u
K la capacidad del sistema (m´ximo n´ mero de clientes permitido en el sistema), m el tama˜ o
a
un
de la poblaci´n o fuente de clientes, y Z la disciplina de la cola. En ocasiones, se utiliza la
o
notaci´n abreviada A/B/c, suponi´ndose K = ∞, m = ∞ y Z = FIFO (First In, First Out:
o
e

el primero en llegar es el primero en ser servido).

La discusi´n habitual en teor´ de colas comienza por resultados generales, para discutir
o
ıa
despu´s modelos particulares. Sea N(t) el n´ merode clientes en el sistema en el instante t;
e
u
definamos Pj (t) = P (N(t) = j) como la probabilidad de que el sistema est´ en el estado j en
e
el instante t. Es particularmente interesante en colas encontrar la distribuci´n en equilibrio
o
definida por
πj = lim Pj (t)
t→∞

1

De hecho, una parte importante de la teor´ de colas estudia el c´lculo de tales probabilidades
ıa
a
y suuso en el c´lculo de medidas de comportamiento.
a
Los casos m´s sencillos de colas corresponden a aqu´llos en que las llegadas siguen una
a
e
distribuci´n de Poisson y los tiempos de servicio siguen una distribuci´n exponencial. En estos
o
o
casos, en la notaci´n de Kendall A = B = M indicando as´ que tanto el tiempo entre llegadas
o
ı,
como el tiempo de servicio es exponencial. Elestudio de tales sistemas resultar´ relativamente
a
sencillo si nos apoyamos en los Procesos de Nacimiento y Muerte, estudiados en el tema
anterior. Si N(t) representa el n´ mero de individuos en el sistema en el instante t y suponemos
u
que siempre que hay n individuos en el sistema:
• se producen nuevas llegadas con tasa exponencial λn e
• independientemente, se producen salidas del sistema...