teoria de conjuntos

TEORIA DE CONJUNTOS

NOCIÓN DE CONJUNTO
Un conjunto es una agrupación o colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.





NOTACIÓN:
Todo conjunto se escribe entre llaves {} y se denota medianteletras mayúsculas A, B, C,…, sus elementos se separan mediante punto y coma y se escriben con letras minúsculas.

Ejemplo: Conjunto de letras del alfabeto…
L: {a; b; c; d; e; f; g; h; i; j;…; x; y; z}

En teoría de conjuntos no se acostumbra repetir los elementos. Por ejemplo, el conjunto {x; x; x; y; y; z; z} simplemente será {x; y; z}

Al número de elementos que tiene unconjunto Q se llama Cardinal del Conjunto y se representa por n(Q).
Ejemplo:
A = {a; b; c; d; e} su cardinal n(A) = 5
B = {x; x; y; y; z} su cardinal n(B) = 3


DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
Un conjunto esta bien determinado, cuando se conoce con exactitud que elementos pertenecen o no al conjunto. Cuando se conoce que elementos pertenece o no al conjunto se dice que el conjunto estabien definido, Un conjunto se puede definir por extensión y comprensión.

Determinación de un Conjunto por Extensión
Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos.
Ejemplos:
El conjunto A de los números naturales que son mayor o igual a 6 y menor o igual a 12.
A = {6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}

El conjunto S de los números naturales que dividensimultáneamente a los números 8 y 12.
S = {1; 2; 4}
Observe que 3 ∉ A, pues 3 no divide a 8 a pesar que 3 divide a 12.

Determinación de un Conjunto por Comprensión
Un conjunto está determinado por comprensión cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos.
Ejemplos:
A = { x/x es una vocal}
Y se lee: “A es el conjunto de las x tal que x es una vocal”

A ={x ∉ N / 0 < x < 9}
Y se lee: “A es el conjunto de las x perteneciente a los naturales tal que los x sean mayores que cero y menores que 9”








RELACIÓN DE PERTENENCIA ENTRE CONJUNTOS
Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo: ∈
Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo: ∉
Ejemplos:
a ∈ V; donde V es el conjunto de las vocales.
9∉ P; donde P es el conjunto de los números primos.

Pertenencia de conjuntos
En; esta en; es elemento de; pertenece a…
∈
∉
a ∈ S significa: a es elemento del conjunto S; a ∉ S significa: a no es elemento del conjunto S

(1/2)−1 ∈ N; 2−1 ∉ N

RELACIÓN DE IGUALDAD ENTRE CONJUNTOS

Si dos conjuntos tienen los mismos elementos, decimos que dichos conjuntos son iguales.

Ejemplo:
A: elconjunto de los números que se obtienen al lanzar un dado corriente.
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

B: el conjunto de los números naturales divisores de 60 que sean menores que 10
B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60}
Pero de ellos los menores que 10 son solamente 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

Por tanto el conjunto A = B.
Si dos conjuntos A y B no son iguales, se indica con la siguiente notación A≠ B (A es distinto de B).

RELACIÓN DE INCLUSIÓN ENTRE CONJUNTOS
Esta relación es recíproca la relación de contenencia, se dice que un conjunto está incluido en otro cuando todos los elementos del primero pertenecen al otro conjunto, en este caso de define cuando un conjunto es subconjunto de otro. Da igual manera un conjunto contiene a otro cuando los elementos del segundo pertenecen alprimero.
Esta definición en forma simbólica se expresa.




























Propiedades con Inclusión de Conjuntos
Sean A, B y D tres conjuntos arbitrarios, se cumplen las siguientes propiedades:
Propiedad Reflexiva: todo conjunto está incluido en sí mismo. A⊂A
Propiedad Transitiva: A ⊂ B ∧ B ⊂ D → A ⊂ D
Propiedad Antisimétrica: A ⊂ B ∧ B ⊂ A → A = B...