Teoria de conjuntos

Capítulo 8.- TEORIA DE CONJUNTOS

Introducción

La teoría de conjuntos es una de las partes de la matemática que se desarrolló desde fines del siglo XIX. Ha introducido términos como pertenencia, inclusión, unión y otros con significados rigurosos y su uso sin dudas ha permitido mejorar la presición del lenguaje en áreas de conocimiento como la teoría de relaciones y funciones, lateoría de las probabilidades y otras. Conocerla, al menos en sus aspectos fundamentales, es una necesidad para cualquier estudiante de ciencias, por ello su presencia en la curríula de matemática para Ingeniería Agronómica.

NOCIONES DE CONJUNTO Y DE ELEMENTO

Un conjunto es cualquier agrupación o colección de objetos o entidades.
Un elemento es cada uno de los objetos que formanun conjunto.

Los conjuntos se designan o anotan generalmente con una letra mayúscula. Sus elementos se encierran entre llaves y si son literales, generalmente se usan minúsculas.
Por ejemplo, el conjunto A, formado por los elementos 1, 2 y 3, se anota así:
[pic]

DEFINICION ( O DETERMINACION) DE UN CONJUNTO

Un conjunto está definido o estádeterminado cuando se conocen todos y cada uno de los elementos que lo forman.
Se usan dos maneras para definir un conjunto:
a) extensión o enumeración
b) comprensión.

DEFINICION POR EXTENSION O ENUMERACIÓN

Un conjunto está definido por extensión o enumeración cuando para conocer los elementos que lo forman, éstos se nombran o enumeran uno a uno.
Ejemplo: sidecimos que el conjunto M está formado por los elementos –5 y 7, y anotamos [pic], lo hemos definido por extensión.

DEFINICION POR COMPRENSION

Un conjunto está definido por comprensión cuando sus elementos se conocen a través de una propiedad que les es común a ellos y sólo a ellos.
Esa propiedad suele adquirir la forma de una función proposicional que se transforma en unaproposición verdadera (V) sólo cuando a su/s variable/s se le/s asignan como valores los elementos de ese conjunto.
En el caso de conjuntos de interés matemático la función proposicional suele tener forma de una ecuación, o también de una inecuación.
Ejemplo: el mismo conjunto M del caso anterior puede ser definido por comprensión así:
[pic]
El símbolo “x/…” se lee: x, tal que…EQUIVALENCIA DE AMBAS DEFINICIONES

Analicemos la equivalencia de las dos formas de definición utilizadas.
En la definición por comprensión, la función proposicional usada es la ecuación de segundo grado en una incógnita, [pic], que sólo se satisface como igualdad para sus raíces , que calculamos a continuación, con la fórmula de Baskara:

[pic][pic].
De allí, [pic] y [pic]Estos dos números son, precisamente, los elementos de M enumerados en la otra forma usada.
Concluimos entonces que ambas formas definen al mismo conjunto y, por ello, son equivalentes.
Debe entenderse también que la función proposicional [pic], permite comprender que el conjunto M está formado por los números –5 y 7, aún cuando éstos no sean nombrados explícitamente, puesellos son los únicos números que la transforman en una proposición verdadera.

DOS CONJUNTOS ESPECIALES

Es frecuente, en esta teoría, la referencia a dos conjuntos que debemos distinguir como especiales:
a) el conjunto vacío (simbolizado con [pic])
b) el conjunto universal (simbolizado con U)

El conjunto vacío es el que no tiene elementos.
El conjuntouniversal es el que reúne a todos los elementos de que se trata.

DIAGRAMAS DE VENN-EULER

Los diagramas de Venn-Euler están formados por curvas que encierran a los elementos de un conjunto del cual se necesita proponer un gráfico representativo. La letra mayúscula que lo nombra se coloca afuera de la curva.
Ejemplo:
A

Si [pic], el gráfico será...