Teoria De Conjuntos

TEORÍA DE CONJUNTOS
CAPÍTULO I
NÚMEROS NATURALES: PRINCIPIO DE INDUCCIÓN
Admitimos como intuitivo el concepto de número natural; así, podemos enumerar los números naturales en orden creciente:
N = { 1,2,3,4,5, ... }
Cuando se quiere demostrar que una proposición relativa a números naturales es cierta, se necesita el Principio de Inducción:
"Sea S el conjunto de números naturales para losque la proposición p(n) es cierta; supongamos que m  S y que n S  n+1  S.
Entonces S = {m,m+1,m+2, ... }"
(Es decir, la propiedad se verifica para todo número natural a partir de m; normalmente se usa con m = 1).
Algunas veces, cuando se quiere demostrar que la proposición es cierta para n+1, es necesario usar que la proposición se verifica para todo k < n+1; en ese caso se utilizael Principio de Inducción completa:
"Sea S el conjunto de números naturales para los que la proposición p(n) es cierta; supongamos que m  S  y que m,m+1, ... ,n S  n+1  S.
Entonces S = {m,m+1,m+2, ... }"

CAPÍTULO II
TEORÍA DE CONJUNTOS
1. NOCIÓN INTUITIVA DE CONJUNTO
Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre sí, que se llaman elementos del mismo.Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a Î A. 
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota aÏ A.
Ejemplos de conjuntos:
* Ø: el conjunto vacío, que carece de elementos.
* N: el conjunto de los números naturales.
* Z: el conjunto de los números enteros.
* Q : el conjunto de los números racionales.
* R: el conjunto delos números reales.
* C: el conjunto de los números complejos.
Se puede definir un conjunto:
* por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
* por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, o su propiedad característica, si se define por comprensión. Porejemplo:
* A := {1,2,3, ... ,n}
* B := {p Z | p es par}
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota A  B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a  A  a  B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A  B y B  A; 
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (otambién la misma propiedad característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que  A y A  A; 
B  A es un subconjunto propio de A si A   y B  A.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota  (A). 
Entonces, la relación B  A es equivalente a decir B   (A).
Ejemplo:
Si A = {a,b} entonces  (A) = { ,{a},{b},A}.
Si a  A entonces{a}  (A).
Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U, se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.

2. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A  B := {a  A | a  B}. 
Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A  B := (A  B)   A
SiA   (U), a la diferencia U  A se le llama complementario de A respecto de U, y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).
Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:
*  ' = U .
* U ' = .
* (A')' = A .
* A  B  B'  A' .
* Si A = { x  U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x  U | p(x) es una proposición falsa}.
Sellama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B, es decir: A  B := { x | x  A  x  B}.
Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B, es decir: A  B := {x | x  A  x  B}.
Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A B =...