Teoria de la probabilidad

Apuntes de Teor´a de la Medida ı
Ricardo Faro 3 de febrero de 2009

´ Indice general
1. Medida 1.1. Introducci´n Hist´rica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 1.2. σ–´lgebras de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . a ´ 1.2.1. Algebras y σ–´lgebras. . . . . . . . . . . . . . . a 1.2.2. σ–´lgebra de B´rel. . . . . . . . . . . . . . . . . a o 1.3. Medida . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1.3.1. Cargas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Propiedades de haz en los espacios de medida. 1.4. Extensi´n de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.4.1. Medidas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Teoremas de extensi´n de medidas . . . . . . . o 1.5. Compleci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.6. Medidas deLebesgue–Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Medidas de Lebesgue–Stieltjes en R. . . . . . . 1.6.2. Medidas de Lebesgue–Stieltjes en Rn . . . . . . 1.6.3. Propiedades de la medida de Lebesgue. . . . . 1.6.4. Regularidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5. El conjunto de Cantor. . . . . . . . . . . . . . . 1.6.6. Sobre los conjuntos Lebesgue medibles. . . . . 1.7. Medidas deHausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1. Medidas de Hausdorff en Rn . . . . . . . . . . . 1.8. Bibliograf´ y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . ıa 2. Integraci´n o 2.1. Introducci´n hist´rica . . . . o o 2.2. Funciones medibles . . . . . . 2.2.1. Propiedades b´sicas de a 2.2.2. Funciones simples . . . . . . las . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funciones medibles. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4 4 9 13 16 18 21 21 24 28 31 31 37 43 45 47 50 51 55 57 67 67 68 68 71

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´ INDICE GENERAL 2.2.3. Operaciones b´sicas de las funciones medibles. a 2.2.4. Existencia de Lebesgue medibles no de Borel. . Integraci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o2.3.1. Propiedades b´sicas de la integral. . . . . . . . a Teoremas b´sicos de integraci´n . . . . . . . . . . . . . a o 2.4.1. Teorema de la convergencia dominada. . . . . . 2.4.2. Dependencia de un par´metro. . . . . . . . . . a 2.4.3. Otras propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . Integrales de Riemann y de Lebesgue . . . . . . . . . . Bibliograf´ y comentarios . . . . . . . . . . . . . . .. ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 74 77 80 82 88 91 94 98 104 109 109 111 114 115 121 121 127 129 130 133 135 137 140 143 143 144 150 154 164 168 171 171 172 178 178 181

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

3. Espacio de medida producto 3.1.Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2. Producto finito de espacios medibles . . . . . . . . . 3.3. Teorema de la medida producto . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Medidas de transici´n . . . . . . . . . . . . . o 3.4. El Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Teorema de Fubini para dos espacios . . . . . 3.4.2. Producto de m´s de dos espacios. . . . . . . . a3.5. Compleci´n de la medida producto . . . . . . . . . . o 3.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Medida en la esfera invariante por rotaciones 3.6.2. Convoluci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.7. Producto de infinitos espacios medibles . . . . . . . . 3.8. Bibliograf´ y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . ıa 4. El Teorema de Radon–Nikodym 4.1.Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . o 4.2. Teorema de descomposici´n de carga o 4.3. Medidas reales y medidas complejas 4.4. El Teorema de Radon–Nikodym . . . 4.5. Singularidad . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Bibliograf´ y comentarios . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Diferenciaci´n...