tesis

UNIVERSITAT DE BARCELONA
`
Departament d’Algebra i Geometria

POL´
IGONOS DE NEWTON
DE ORDEN SUPERIOR Y
´
APLICACIONES ARITMETICAS

Jes´s Montes Peral
u

Pol´
ıgonos de Newton de orden superior
y aplicaciones aritm´ticas
e

Memoria presentada
para optar al grado de
Doctor en Matem´ticas
a
por

Jes´s Montes Peral
u

Universitat de Barcelona, 1999

ContenidoIntroducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

1

Cap´
ıtulo 1
Pol´
ıgonos de Newton (de orden uno) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§1. Notaciones y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
9

§2. Desarrollos admisibles. Teorema del producto . . . . . . . . .. . . . .
§3. Teoremas del pol´
ıgono y del polinomio asociado . . . . . . . . . . . .
§4. Teoremas de la resultante y del ´
ındice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16
21
27

Cap´
ıtulo 2
Pol´
ıgonos de Newton de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§1. Notaciones, hip´tesis de inducci´n y tipos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
o
§2. Elpar de valoraci´n (vr , ωr ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

33
33
38

§3. Construcci´n de φr (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
§4. Definici´n del pol´
o
ıgono y del polinomio asociado . . . . . . . . . . .
§5. Desarrollos admisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§6.Teorema del producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§7. C´lculo del valor v(R(θ)) con el pol´
a
ıgono . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§8. Teorema del pol´
ıgono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§9. Teorema del polinomio asociado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§10. Teorema dela resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§11. Teorema del ´
ındice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51
56
64
66
70
77
82
89
96

ii

Contenido

Cap´
ıtulo 3
Descomposici´n de n´meros primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
u
§1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
§2. Determinaci´n de buenos representantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
§3. Determinaci´n del tipo de descomposici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
o
§4. Profundidad de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§5. Generadores de los ideales primos . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
§6. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111
111
112
120
124
126
134

Cap´
ıtulo 4
Ramificaci´n en cuerpos cu´rticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
a
§1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
o
§2. Resultados previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3. Ramificaci´n di´dica (primera parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
a
§4. Ramificaci´n di´dica (segunda parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
a
§5. Ramificaci´n tri´dica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .o
a
§6. Ramificaci´n de los primos mayores que tres . . . . . . . . . . . . . . .
o

141
141
143
147
157
177
186

Bibliograf´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa

195

Introducci´n
o

La teor´ algebraica de n´ meros tiene sus inicios en los trabajos de Kummer
ıa
u
sobre la ecuaci´n de Fermat. En los...