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´ CAP´ ITULO 3. CODIFICACION

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3.6.
3.6.1.

C´digos de detecci´n de errores o o
El criterio de detecci´n de errores o

Un error es detectado de acuerdo a las siguientes caracter´ ısticas que lo determinan como tal: Tasa de error de bit: BER Probabilidad de una trama sin errores: PF Probabilidad de una trama con errores no detectables: Po Probabilidad de una trama con erroresdetectables o sin errores indetectables: Pe Primero se considera el caso en el que no se ponen medidas para detectar errores. En ese caso la probabilidad de errores detectables es cero. Suponiendo que los sistemas son estacionarios (las distribuciones de probabilidad no modifican sus par´metros en el tiempo), tenemos que: a PF = (1 − BER)L Po = 1 − Pe Donde L es la longitud de una secuencia dada. De ah´ seconcluye que la probabilidad que una ı secuencia llegue sin errores disminuye al aumentar la longitud de la trama. La detecci´n de errores se basa en el siguiente principio: Dada una secuencia, se a˜aden bits o n adicionales por parte del transmisor para formar un c´digo que tenga capacidad de detectar errores. o Este c´digo se calcular´ en funci´n de los otros s´ o a o ımbolos que se vayan atransmitir. El receptor realizar´ el mismo c´lculo y comparar´ los dos resultados. Se detecta un error si y s´lo si, los dos a a a o resultados no coinciden. Por lo tanto se incluye el valor de Pe como la probabilidad que si una trama contiene errores, el sistema de detecci´n de errores los detecte. Aqu´ Po ser´ la tasa de o ı ıa error residual (RER), y es la probabilidad que un error no se detecteaunque se est´ usando un e esquema de detecci´n de errores. Los esquemas m´s com´nmente usados para detecci´n de errores o a u o son: Paridad y CRC. Las limitaciones te´ricas de la codificaci´n est´n dadas por los resultados de la teor´ de la o o a ıa informaci´n (Secci´n ). Este resultado es frustrante ya que ofrece una peque˜a pista acerca de c´mo o o n o el c´digo deber´ realizarse. El c´digo dedetecci´n de errores se dise˜a para permitir la detecci´n o ıa o o n o de errores. Una vez detectado, el receptor puede pedir una re-transmisi´n de los bits err´neos, o o o simplemente informar al destinatario que la transmisi´n fue corrupta. En un canal binario, los o c´digos de verificaci´n de errores se llaman C´digos de Detecci´n de Paridad. El receptor asignar´ a o o o o a la frase recibidaotra frase codificada preasignada tal que minimice la distancia Hamming entre las dos. Se puede demostrar que para detectar hasta n bits err´neos (Problema P8.1), un esquema de o codificaci´n requiere el uso de frases codificadas preasignadas con una distancia Hamming de por o lo menos n + 1.

3.6.2.

Detecci´n de paridad simple o

Un c´digo muy com´n es el C´digo de Detecci´n de Paridad Simple.Este c´digo a˜ade a cada o u o o o n K bits de datos un bit adicional, cuyo valor se toma para hacer una secuencia con un n´mero par u o impar de s´ ımbolos iguales. Tal opci´n se dice que tiene paridad par o impar. Con la paridad par o

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o impar, un solo bit err´neo har´ que la frase recibida sea impar o par, respectivamente. Las frases o a codificadaspreasignadas son siempre pares o impares, por lo que est´n separados por una distancia a Hamming de 2 o m´s. a Ejemplo 3.7 Una secuencia de 7 bits se le inserta un bit de paridad par. En las tablas 3.5 y 3.6, se ilustran ejemplos de secuencias v´lidas y no v´lidas (err´neas) de paridad. a a o Tabla 3.5: Secuencias v´lidas con paridad par. a {X0 } (paridad) 0 1 1 1 0

{X7···1 } 0111001 0101001 01100010000001 0100001

{X7···1 } 0111010 0101001 0100000 1000110 1101001

Tabla 3.6: Secuencias no v´lidas con paridad par. a {X0 } (paridad) 1 0 0 0 1

Para ver c´mo la adici´n de un bit de paridad puede mejorar la acci´n sobre el error, tenemos o o o lo siguiente: Dado una secuencia de K s´ ımbolos y la probabilidad de que se presente un error en un solo s´ ımbolo de forma independiente es...