Tipos de Derivadas

Páginas: 4 (997 palabras) Publicado: 11 de noviembre de 2015
LA DERIVADA
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales,constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ellocontribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos.

Tasa de variación media
Incremento de una función
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando al valor a +h, entonces f pasa a valer f (a +h), al valor h se le llama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
Tasa de variación media
Llamamostasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo  [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:

T.V.M. [a, b] = Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función: f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]

Solución: T.V.M. [0, 2] = 


Tasa de variación instantánea. (La derivada)
Consideremos un valor h (quepuede ser positivo o negativo).

La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería.
 
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir:

A estevalor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de lavariable tiende a 0.
=
Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.
Observación 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , también puede expresarse así:

Ejercicio 2.Hallar la derivada de la función f(x) = -x2 +4x   el punto de abscisa x =1.
Observación 2. También se puede hablar de derivadas laterales, f ’+ y f -’ (obligatorio que f sea continua) según se...
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