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DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA:


El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Las propiedades que vamos a enunciar son generalespara determinantes de cualquier orden. Pueden comprobarse en los de orden dos o tres.


1. El determinante no varía si se traspone la matriz. Es decir: det A = det At.
(Esta propiedad permite enunciar las demás sólo para filas o columnas).
2. Si permutamos entre sí dos filas (o columnas) el determinante cambia de signo.
3. Si multiplicamos (o dividimos) una fila o columna por un número eldeterminante que- da multiplicado por dicho número.
(Esta propiedad sirve para poder sacar factor común en un determinante)

En lo que sigue consideraremos   [pic]  como una matriz cuadrada de orden   [pic]    [pic]  y   [pic]  una fila y una columna cualesquiera de esa matriz. El determinante de una matriz lo podemos ver como una función de sus filas
[pic]
o de sus columnas
[pic]Las propiedades mas importantes de los determinantes son:

1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su matriz traspuesta.
[pic]
2. Si los elementos de una línea o columna de una matriz se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho número:
[pic]
[pic]

3. Si todas las líneas de una matriz de orden   [pic]  estánmultiplicadas por un mismo número   [pic]  el determinante de la matriz queda multiplicado por   [pic]
[pic]

4.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

5. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de ambas matrices:
[pic]

6. Si en una matriz cuadrada se permutan dos líneas, su determinante cambia de signo:
[pic]

7. Si una línea de una matrizcuadrada es combinación lineal de las líneas restantes, es decir, es el resultado de sumar los elementos de otras líneas multiplicadas por números reales, su determinante es cero. Consecuencia inmediata de esta propiedad es que si una matriz tiene una línea de ceros su determinante es cero.

8. Si a los elementos de una línea de una matriz cuadrada se les suma una combinación lineal de las líneasrestantes, su determinante no varia.
El método de Chío consiste en hacer cero el mayor número posible de elementos de una línea utilizando la propiedad anterior de los determinantes y posteriormente desarrollar el determinante por los adjuntos de los elementos de esa línea en la que hemos hecho ceros.

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

Como hemos visto, el método de Gauss transforma la matrizde coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria (aij=0 para cualquier [pic]).
Veamos el método de Gauss-Jordan siguiendo con el ejemplo empleado en el apartado anterior. Aplicando el método de Gauss habíamos llegado a la siguiente ecuación:
[pic]


Ahora seguiremos un procedimientosimilar al empleado en el método de Gauss. Tomaremos como pivote el elemento a44=-3; multiplicamos la cuarta ecuación por [pic]y la restamos a la primera:
[pic]


Realizamos la misma operación con la segunda y tercera fila, obteniendo:
[pic]


Ahora tomamos como pivote el elemento a33=2, multiplicamos la tercera ecuación por [pic]y la restamos a la primera:
[pic]


Repetimos la operacióncon la segunda fila:
[pic]


Finalmente, tomamos como pivote a22=-4, multiplicamos la segunda ecuación por [pic]y la sumamos a la primera:
[pic]


En este caso el sistema se reduce a n ecuaciones simples y la solución es:
|[pic] |


:
[pic]...