Torsion de barras circulares

Torsión de Barras Circulares.

Introducción Este capítulo está dedicado al estudio de las tensiones y deformaciones tangenciales en la sección transversal de un elemento (miembro) debido a la acción de un momento de torsión (momento en torno al eje longitudinal del elemento). Este estudio estará restringido a secciones circulares macizas y huecas.

Hipótesis Básicas para Miembros CircularesConsiderar miembros de sección transversal circular maciza o tubular. Una sección circular plana, perpendicular al eje del miembro, permanece plana después de aplicada la torsión. En otras palabras, no tiene lugar el alabeo o distorsión de planas normales al eje del miembro. En un miembro de sección circular sometido a torsión, las deformaciones máximo valor γmax en la periferia de la sección (Fig.1). unitarias de corte γ varían linealmente desde el eje central, alcanzando su

Se considera un material homogéneo y linealmente elástico.

Deformación de un miembro circular sometido a torsión. Considerar la rotación relativa de dos secciones circulares maciza adyacentes de radio c de un elemento de longitud L, tal como lo muestra la Fig. 1.

x r=c x+∆x x
∆x

γmax = γ(c)

Fig. 1.Rotación relativa de dos secciones circulares adyacentes debido a torsión

1

De la geometría de la Fig. 1 se obtiene la siguiente relación

dφ  r∆φ  γ = lim  =r ∆x → 0 ∆x dx  

(1)

La expresión anterior, debido a la hipótesis de la geometría de deformación, es válida para cualquier valor de r tal que r ≤ c. Además, de la geometría de deformación presentada en la Fig. 1, se tieneque un plano paralelo al eje longitudinal x rota en forma relativa en un ángulo γ debido al ángulo ∆φ. Por lo tanto, si el plano tenía forma de rectángulo, luego de la rotación relativa ∆φ de la sección transversal tiene forma de rombo. Si la expresión de la Ec. (1) se discretiza, para pequeños valores de la deformación γ se cumple
γ =r ∆φ ∆x

(2)

donde ∆φ y γ están expresados en radianes. Dela Ec. (2) se puede concluir lo siguiente: La deformación de corte γ es proporcional a la distancia r medida desde el eje del elemento circular hasta el punto en consideración. La deformación de corte γ varía linealmente con la distancia medida desde el eje del elemento circular La deformación de corte γ máxima se da en la superficie del elemento (r = c)
γ max = c ∆φ ∆x

La deformación de corteγ es proporcional al ángulo ∆φ

(3a) (3b)

r γ = γ max c

2

Tensiones debido a la Torsión en el Rango Elástico. Considerar la ley de Hooke para la tensión de corte τ

τ = Gγ

(4)

donde G es el módulo de rigidez o módulo de corte del material. Utilizando las Ecs. (3) y (4), se obtiene

r τ = τ max c

(5)

lo que indica que la tensión de corte τ varía linealmente con ladistancia r medida desde el eje longitudinal del elemento circular. Para el caso de una sección anular, se cumple la siguiente relación (Fig. 2)

τ min =

c1 τ max c2

(6)

(a)

y

(b)

z
c

Mt

τmax

τmin c2

c1

z

Fig. 2. (a) Distribución de tensiones tangenciales debido a la torsión en una sección maciza y (b) en una sección anular

3

Momento de Torsión Interno: Mty
τxy τ τxz r z

y

z

Mt

Fig. 3. Equilibrio en la sección transversal debido a un momento de torsión

Considerar las tensiones que actúan en la sección transversal mostrada en la Fig. 3. Por equilibrio, se deben cumplir las siguientes relaciones

∫τ
A A

xz

dA = 0 dA = 0

(7a) (7b) (7c) (7d)

M t = ∫ rτdA
A A

M t = ∫ (τ xz y + τ xy z )dA

∫τ

xy

r  τ M t =∫ r  τ max dA  = max ∫ r 2dA c c A  A 
Mt = τ max J c

(7e)

(7f)

donde J es el momento polar de inercia con respecto a O (Fig. 2a). Utilizando Ecs. (5) y (7f), se obtiene
τ (r ) =

r Mt J

(8)

Las Ecs. (7) y (8) se conocen como las fórmulas de la torsión elástica. Suponer que la seccion circular transversal está compuesta por dos materiales diferentes. Se asume que

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