TP1

PROBLEMAS A ENTREGAR


Fecha de entrega: 25 de Abril de 2011

Comisiones de trabajo: Integradas por 3 personas

Problema 1:

Dado los sistemas de primer orden que responden a las siguientes funciones de transferencia:



y las perturbaciones que se listan a continuación:

a)
b) x(t)= - 4 sen (2t)

Obtener para ambos procesos (G1 y G2) la expresión temporal de la respuesta a cada una de dichasperturbaciones y comparar los resultados. Graficar para todos los casos analizados la variable de salida vs tiempo. Utilizar MAPLE y Matlab-Simulink.


Problema 2:

En un reactor tanque agitado continuo (RTAC) se desarrolla la reacción A  B con una velocidad r = k CA2 y k=0.09 m3/(mol min). Hallar la función de transferencia que relaciona la concentración de salida CA con la concentraciónde entrada CA0 para el caso en que el caudal de entrada y la temperatura del sistema permanecen constantes. Determinar la respuesta del sistema y la efectividad de la linealización frente a escalones ideales positivos en CA0 del 10 y 50 % con respecto al valor inicial. Utilizar Simulink.

Datos: V= 3 m3, concentración de entrada (CA0) en t=0 es de 0.90 mol/m3 y el caudal que circula por el tanque(F) es 0.07 m3/min










Problema 1)
La transformada de la perturbación X1:
> laplace(4*Heaviside(t)-4*Heaviside(t-2),t,s);

La antitransformada de la Y1=G1*X1
> invlaplace(1.5/(s+3)*4/s*(1-exp(-2*s)),s,t);

> with(plots):
> plot(2.*Heaviside(2.-1.*t)+2.*Heaviside(t-2.)*exp(-3.*t+6.)-2.*exp(-3.*t),t=0..10);


La antitransformada de la Y2=G2*X1:
>invlaplace(1.5*exp(-2*s)/(s+3)*4/s*(1-exp(-2*s)),s,t);

> plot(2.*Heaviside(t-2.)*(1.-1.*exp(-3.*t+6.))-2.*Heaviside(t-4.)*(1.-1.*exp(-3.*t+12.)),t=0..8);


La transformada de la perturbacion X2:
> laplace(-4*sin(2*t),t,s);

La antitransformada de la Y1=G1*X2:
> invlaplace(1.5/(s+3)*(-8)/(s**2+4),s,t);

> plot(1.846153846*cos(t)^2-2.769230769*sin(t)*cos(t)-.9230769231-.9230769231*exp(-3.*t),t=0..10);


La antitransformada de la Y2=G2*X2:

>invlaplace(1.5*exp(-2*s)/(s+3)*(-8)/(s**2+4),s,t);

> plot(.9230769231*Heaviside(t-2.)*(-2.*exp(-1.500000000*t+3.)*cosh(1.500000000*t-3.)+cos(t-2.)*(2.*cos(t-2.)-3.*sin(t-2.))),t=0..10);




Problema 2)
Para hallar la funcion de transferencia planteo el balance de masa por componente:
F0CA0 - FCA - kCA2V = VdCA/dt
Divido por F= F0 porque es constante:
CA0 - CA - kCA2V/F = (V/F)dCA/dt
Le resto el balance en estado estacionario para obtener las variables de desviación:
CA0 - CA - kCA2V/F = (V/F) dCA/dt
-
CA0ee - CAee - kCAee2V/F = (V/F) dCAee/dt

CA0 - CA - (kV/F)( CA2 - CAee2 ) = (V/F) dCA/dt

Para linealizar el termino de no lineal aplico la linealizacion de Taylor:
f(CA) = CA2 = CAee2 + 2 CAee(CA - CAee)

Reemplazando
CA0 - CA - (kV/F)( 2 CAeeCA) = (V/F) dCA/dt
CA0(S) - CA(S) - (kV/F)( 2 CAeeCA (S)) = (V/F) dCA(S)/dt
CA0(S) = CA(S) ( 1 + (kV/F)( 2 CAee) + (V/F)S )
CA(S) / CA0(S) = 1 / (VS/F + (1+kV/F2CAee))
CA(S) / CA0(S) = (1/(1+kV/F2 CAee)) / ((V/F)/(1+kV/F2 CAee)*S+1)
CA(S) / CA0(S) = K / (ﺡS+1)

El valor de CAee se obtiene haciendo el balance en estado estacionario con los datos:
F(CA0-CAee) -kCAee2V = 0 = 0.07*(0.9-CAee) - 0.09*CAee2*3 → CAee = 0.37
Luego se puede calcular
K= (1/(1+kV/F2 CAee))= 0.2594
ﺡ=(V/F)/(1+kV/F2 CAee)=11.12

CA(S) / CA0(S) = 0.2594 / (11.12S+1)

Con una perturbación del 10%
CA0 (t) = 0.1*0.9*u(t) = 0.09*u(t) → CA0 (S) = 0.09/S
CA(S) = (0.2594 / (11.12S+1) ) * 0.09*u(t)
CA(S) = 0.023/(S+0.089) * 0.09/S
CA(S) = A/(S+0.089) + B/S = (AS + BS +B0.089) / ((S+0.089)*S)
Se obtiene que el coeficiente A=-0.023 y B=0.023, luego haciendo la transformada se obtiene




De forma análoga para la perturbación del 50%:
CA0 (t) = 0.5*0.9*u(t) = 0.45*u(t) → CA0 (S) = 0.45/S
CA(S) = (0.2594 / (11.12S+1) ) * 0.45*u(t)
CA(S) = 0.023/(S+0.089) * 0.45/S
CA(S) = A/(S+0.089) + B/S = (AS + BS + B0.089) / ((S+0.089)*S)


Se obtiene que el...