Trabajo De Derivada

1er ejercicio

Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la fórmula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generadacuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 Bs:
a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad
b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener lamáxima rentabilidad posible.
c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.

Solución
a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la funcióncrece y si es negativa decrece
Procedimiento:

Se deriva la función:
R`(x)=-0,004x+0,8

Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:

R`(x)=0, 

Se estudia el signo de la derivada a laderecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:

F

F ´+ 200 -
Se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0
 
Entonces laderivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que enpunto 200 hay un máximo local
b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 Bs.
c) La máxima rentabilidad es R (200)= -0,002.(200)2+0,8.200-5=75Bs

2do ejercicio

La suma de dosnúmeros no negativos es 36. Halla dichos números para que: 

a) La suma de sus cuadrados sea lo más pequeña posible 
b) La suma de sus raíces cuadradas sea lo más grande posible

Solución

Sea x e ydichos números, se tiene x + y = 36, de donde y = 36-x

a) Definimos f(x, y)= x2+ y2, como y= 36 –x, podemos sustituir en f con lo q dependerá solo de una variable, f(x) = x2+(36-x)2,  y...