Transformacion Conforme

TRABAJO DE INVESTIGACION
















ÍNDICE

SERIES DE POTENCIAS, RESIDUOS Y POLOS DE FUNCIONES ANALÍTICAS

SERIE DE TAYLOR DE UNA FUNCIÓN ANALÍTICA

DESARROLLO DE LAURENT

RESIDUOS Y POLOS

TEOREMA DE LOS RESIDUOS

APLICACIONES DE LOS RESIDUOS

EVALUACION DE INTEGRALES MEDIANTE RESIDUOS

TRANSFORMACIONES CONFORMES

APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONESCONFORMES
TEMPERATURAS ESTACIONARIAS

TEMPERATURAS ESTACIONARIAS EN UN
SEMIPLANO

TEMPERATURAS EN UN CUADRANTE

POTENCIAL EN UN ESPACIO CILÍNDRICO

FLUJO EN UN FLUIDO BIDIMENSIONAL

FLUJOS EN TORNO A UNA ESQUINA Y
A UN CILINDRO

BIBLIOGRAFÍA


SERIES DE POTENCIAS, RESIDUOS Y POLOS DE FUNCIONES ANALÍTICAS


SERIE DE TAYLOR DE UNA FUNCIÓN ANALÍTICA:

En matemáticas, una seriede Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

[pic]
Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x),entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie deTaylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.



DESARROLLO DE LAURENT:



En matemáticas, la serie de Laurent de una función compleja f(z) es la representación de la misma función en la forma de una serie depotencias, la cual también incluye términos de grado negativo. Esta serie se puede usar para expresar funciones complejas en casos donde una expansión de la serie de Taylor no es aplicable o no se puede acoplar. La serie de Laurent fue descubierta por Karl Weierstrassen el año de 1841; pero no se divulgó en ese entonces. El matemático Pierre Alphonse Laurent fue quien la publicó en el año 1843.Una serie de Laurent centrada alrededor de un punto [pic] es una serie de la forma:



[pic]



Podemos demostrar que esta serie es convergente dentro del conjunto (posiblemente nulo, Ø):



[pic]

Donde:



[pic]


Toda serie de Laurent tiene vinculada una función de la forma:[pic]

Cuyo dominio es el conjunto de puntos en [pic] sobre el cual es convergente. Esta función es analítica dentro de una corona [pic]; inversamente, toda función en una corona es igual a una única serie de Laurent.

Una serie de Laurent se define con respecto a un punto particular c y un camino de integración γ. El camino de integración debe estardentro de un disco donde f(z) es una función holomorfa (a veces se usa como sinónimo el término función analítica, aunque no es estrictamente correcto, dado que una función analítica es técnicamente aquella que admite desarrollo en serie de potencias en cierto entorno de un punto, lo que ocurre es que en ℂ toda función holomorfa es también analítica).

Los coeficientes de una serie de Laurent enuna función analítica se pueden encontrar por medio de la fórmula integral de Cauchy y están dados por:


[pic]








RESIDUOS Y POLOS

TEOREMA DE LOS RESIDUOS:

El Teorema de los residuos es consecuencia directa del Teorema integral de Cauchy y forma parte fundamental de la teoría matemática de Análisis Complejo.
Sea [pic] una función analítica en un dominio simplemente...