Transformacion lineal

Propiedades de las Transformaciones Lineales: Imagen y Nucleo.
Exlplicacion……..en esta sección se desarrollan algunas propiedades básicas de las transformacione s lineales
Teorema 1
Sea T: V→ W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2,…., vn en V y todos los escalares α1, α2,…., αn:
* T(0) = 0
* T(u-v) = Tu – Tv
* T(α1v1 + α2v2 +…..+ αnvn) =α1Tv1 + α2Tv2 +….+ αnTv n
Nota: en el punto uno) en 0 de la izquierda es el vector cero en V, mientras que el 0 de la derecha es el vector cero en W.
Demostración:
* T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0). Asi ,
0 = T(0) - T(0) = T(0) + T(0) - T(0) = T(0)
* T(u - v) = T[u + (-1) v] = Tu + T[(-1)v] = Tu + (-1)Tv = Tu – Tv.
* Esta parte se prueba por indcuccion (veael apéndice 1). Para n=2 se tiene T(α1v1 + α2v2) = T(α1v1) + T(α2v2) = α1Tv1 + α2Tv2 asi que la ecuación 1 se cumple para n=2. Se supone que se cumple para n=k y se prueba para n= k + 1: T(α1v1 + α2v2 +…..+ αkvk + αk+1vk+1) = T(α1v1 + α2v2 +…..+ αkvk) + T(αk+1vk+1) y usando la ecuación en el puno tres) para n=k, esto es igual a (α1Tv1 + α2Tv2+…..+ αkvk) + αk+1vk+1 que es lo mismo que se queríademostrar. Esto complementa la prueba.
Nota: el punto uno) y el punto dos) del teorema 1 son casos especiales para el punto tres).

Teorema 2
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B= {v1, v2,….,vn} sean w1, w2,….,wn, n vectores en W. suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lienales de V en W tales que T1 vi = T2 vi = wi para i= 1, 2,….,n. Entonces para cualquier vectorv ϵ V, T1 v = T2 v; es decir T1 = T2.
Demsostracion:
Como B es una base para V, existe un conjunto único de escalares α1, α2,…., αn tales que v = α1v1 + α2v2 +…..+ αnvn. Entonces del punto tres) del teorema 1,
T1v = T1(α1v1 + α2v2 +…..+ αnvn) = α1Tv1 + α2Tv2 +….+ αnTv n
= α1w1 + α2w2 +….+ αnw n
De manera similar,
T2v = T2(α1v1 +α2v2 +…..+ αnvn) = α1T2v1 + α2T2v2 +….+ αnT2v n
= α1w1 + α2w2 +….+ αnw n
Por lo tanto, T1 v = T2 v.
Nota: El teorema 2 dice que si T: V→ W y V tiene dimensión finita, entonces solo es necesario conocer el efecto de T sobre los vectores de la base en V. Esto es, si se conoce la imagen de cada vector básico, se puede determinar la imagende cualquier vector en V. Esto determina T por completo. Para ver esto, sean v, v1, v2,…., vn una base en V y sea v otro vector en V. Entonces, igual que en la prueba del teorema 2,
Tv = α1Tv1 + α2Tv2 +….+ αnTv n
Asi se puede calcular Tv para cualquier vector v ϵ V si se conocen Tv1 + Tv2 +….+ Tv n
Ejemplo 1
Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores de labase, entonces se conoce el efecto sobre cualquier otro vector Sea T una transformación lineal de R3 en R2 y suponga que T 100 = 23 , T 010 = -14 y T 001 = 5-3. Calcule T 3-45.
Solución Se tiene 3-45 = 3 100 - 4 010 + 5 001.
Entonces
T 3-45 = 3T 100 – 4T 010 + 5T 001
= 3 23 - 4 -14 + 5 53 = 69 + 4-16 + 25-15 = 35-22
Nota: Si W1, W2,…., Wn son n vectores en W, ¿existe una transformaciónlineal T tal que Tvi = wi para i=1, 2,…..,n? La respuesta es si, asi que veamos el siguiente teorema.
Teorema 3
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B= {v1, v2,….,vn} sea también W un espcacio vectorial que contiene a los vectores W1, W2,…., Wn entonces existe una trasnformacion lineal única T: V→ W tal que Tvi = wi para i= 1, 2,….,n.
Demostración:
* Tvi = wi
*Si v = α1v1 + α2v2 +….+ αnv n entonces Tv= α1w1 + α2w2 +….+ αnw n
Como B es una base para V, T esta definida para todo v ϵ V, W es un espacio vectorial, Tv ϵ W. entonces solo falta demostrar que T es lineal; pero esto se deduce directamene de la ecuación (1). Si u= α1v1 + α2v2 +….+ αnv n y v= β1v1 + β2v2 +….+ βnv n entonces.
T(u+v)= T[(α1+ β1) v1 + (α2+ β2) v2 +,….,+ (αn+ βn) vn]...