Transformaciones lineales

Transformaciones Lineales
Las transformaciones lineales son un tipo especial de funciones que van de un espacio en sí mismo, es decir, una transformación es una función de Rn en Rn. Este tipo defunciones ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y otras ramas de las matemáticas. Las transformaciones lineales tienen una gran variedad de aplicaciones importantes.
Si tenemos una funciónde la forma f(x)=x3-2x+1, decimos que ésta es una función que tiene una variable independiente llamada x que toma valores en los números reales R. Los valores de la variable dependiente f(x) estátambién en el conjunto de los números reales R. Es por ello que es usual escribir una notación compacta que significa lo mismo que se dijo antes escribiendo f: R → R. Queriendo decir que f es una funciónvariable real. La representación gráfica de esa función la dibujamos en el plano cartesiano como un conjunto de puntos en donde la primera coordenada está dada por la variable independiente x y lasegunda coordenada está dada por la variable dependiente f(x). El conjunto de puntos en el plano que determinan la gráfica de esa función es (x,f(x)R2∈f(x)=x3-2x+1,x∈R.

Esta idea matemática se hageneralizado a funciones de varias variables, en lo que sigue analizaremos un tipo especial de funciones, que son las transformaciones que van de un espacio en sí mismo.

Ejemplo 1. Reflexión respectoal eje x
En R2 se define una función T mediante la fórmula Txy=x-y. Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje x.
Figura 2.
Figura 2.

Esto se ilustra como muestra lafigura. Una vez que se ha dado la definición básica, se verá que T es una trasformación lineal de Rn en Rn.
Si lo vemos como un espacio vectorial representado por dos matrices en R2.
Sea A=100-1 y x=x1x2 un elemento del espacio vectorial.
Si a cada elemento de x∈R2 le asociamos el elemento A x, de hecho estamos construyendo una función A: R2→R2 tal que a cada x1x2 le asociamos el elemento...