Transformada de Fourier

CAPÍTULO 2

MÉTODOS DE FOURIER




Métodos sobre señales continuas

El análisis frecuencial sobre señales continuas se realiza básicamente a través de la Serie y la Transformada de Fourier. La importancia de estos métodos radica en la descomposición de la señal en frecuencia lo cual es muy útil, y el diseño de sus algoritmos para su cálculo rápido (transformadarápida de Fourier).

Serie de Fourier (Señales periódicas)

Sea x(t) una señal periódica con frecuencia fundamental f0, entonces se puede descomponer como:



Donde es un conjunto ortogonal completo (base) para cierta clase (espacio) de funciones x(t) de dimensión no finita. A esta sucesión se le llama Serie de Fourier. Se puede demostrar que los coeficientes de Fourier están dados por:Donde

Una clase importante de funciones periódicas para las que existe su serie de Fourier, es la de integrables en su cuadrado sobre un periodo, esto es:



Otra clase, son las que cumplen las condiciones de Dirichlet:
1. La función x(t) tiene un número finito de discontinuidades en cualquier periodo.
2. La señal x(t) tiene un número finito de máximos y mínimos en un periodo.
3. Laseñal x(t) es absolutamente integrable sobre su periodo, esto es:

Estas condiciones son de existencia pero no necesarias.
En general ck son complejos. Si x(t) es real entonces ck y c-k son conjugados complejos, entonces x(t) se puede escribir como:


donde
Usando la propiedad de la suma coseno

De tiene una tercera representación de la señal como
donde

En esta tercera expresiónse observa con mayor sencillez la descomposición de x(t) en componentes de distintas frecuencias.

Un parámetro importante es la potencia promedio. Como x(t) es periódica, esta potencia es finita (y energía infinita). Está dada por:

Figura1.1: Densidad espectral de potencia

De acuerdo al teorema de Parseval, ésta se puede escribir como

Para señales reales, esta potencia es simétrica yes llamada densidad espectral de potencia. De la figura 1.1 se puede observar que existe sólo para múltiplos de la frecuencia fundamental y que el primer cuadrante contiene la información real. Note también que puede expresarse como:



Otras gráficas importantes son la magnitud |ck| y la fase ck contra frecuencia.

Por ejemplo, sea el siguiente tren de pulsos:

Figura 1.2 Tren de pulsosdel cual:




Note que en este caso x(t) es par, entonces los coeficientes de Fourier ck son reales, en consecuencia, el espectro de fase es nulo.
En las gráficas 1.3 se mantiene el periodo TP constante y se varía el ancho del pulso .
Figura 1.3
Se observa que al decrecer , es más ancho el espectro de potencia, el espaciamiento entre líneas se mantiene constante, no depende de .Fijemos ahora  y variemos TP, manteniendo TP>.

Figura 1.4
Se observa que el espaciamiento entre las líneas espectrales decrece a medida que TP aumenta.

Transformada de Fourier (Señales aperiódicas)

Una manera intuitiva de presentarla es considerando que una señal aperiódica tiene un periodo que tiende a .

donde xP(t) es una señal periódica (de periodo TP) formada a partir dex(t) como:
Figura 1.5

Donde


Y

Este coeficiente se puede escribir como:




Se remplaza por el infinito



Se define ahora la transformada de Fourier como:


se observa que . Se puede definir la transformada inversa:

y las condiciones de existencia son las mismas que para la serie de Fourier, modificando la integral:
a) , es decir, la señal x(t) es de energía
b)Condiciones de Dirichlet:
1. La función x(t) tiene un número finito de discontinuidades.
2. La señal x(t) tiene un número finito de máximos y mínimos.
3. La señal x(t) es absolutamente integrable, esto es:
Es de resaltar que si (3) se cumple, entonces se cumplen (1) y (2).

La función cumple (a) pero no cumple (3), y se tiene:


De acuerdo al teorema de Parseval, la energía total Ex de la...