Transformada de laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE
o. d
0

£{f (t)}(s) = F (s) = = si el l´ ımite existe.

An

Demostraci´n: veamos que la siguiente integral existe, en efecto: o |£{f (t)}(s)| = =
∞ 0 ∞ 0

Un

Teorema 6.1 . Si f (t) es una funci´n continua a tramos para t ≥ 0 y adem´s |f (t)| ≤ M ect o a para todo t ≥ T , donde M es constante , c > 0 constante y T > 0 constante, entonces £{f (t)}(s) existepara s > c.

ive

rsid

ad

de

b→∞

l´ ım

e−st f (t)dt ≤
0

e−st |f (t)|dt, 215

tioq

∞

e−st f (t)dt
b

0

∞

sabiendo que e−st > 0

uia

Definici´n 6.1 Sea f (t) una funci´n definida para todo t ≥ 0; se define la o o Transformada de Laplace de f (t) as´ ı:

e−st f (t)dt,

|e−st ||f (t)|dt

,D

ept

6.1.

INTRODUCCION

eM

atem atic

CAP´ ITULO 6as

CAP´ ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
T ∞ T

=
0

e

−st

|f (t)|dt +

e−st |f (t)|dt I2

I1
T

I1 =
0

e−st |f (t)|dt existe, ya que f es continua a tramos

T

≤ M ect
∞

T

An

M ect , (c > 0) • (0, M ) • T

tioq

f (t)

uia

NOTA: cuando f (t) ≤ |f (t)| ≤ M ect para t ≥ T , entonces decimos que f (t) es de orden exponencial (ver figura 6.1).

,Dive

rsid

ad

de

t

Observaci´n: £ es un operador lineal, en efecto o £{αf (t) + βg(t)}(s) 216
def.

Un

Figura 6.1

=

∞ 0

e−st (αf (t) + βg(t)) dt

ept

Luego, £{f (t)}(s) existe, si s > c.

o. d

M e−(s−c)t , suponiendo que s − c > 0 = −(s − c) T M −(s−c)T M −(s−c)T (0 − e )= e = − s−c s−c

f (t)

eM

atem atic
T

I2 =

∞

e−st |f (t)| dt ≤

∞e−st M ect dt = M

∞

e(−s+c)t dt

as

6.1. INTRODUCCION = = Teorema 6.2 . 1). £{1}(s) = £{k}(s) = 2). £{tn }(s) =
1 s k s

α
0

∞

e−st f (t) dt + β
0

∞

e−st g(t) dt

α£{f (t)}(s) + β£{g(t)}(s)

,

s > 0,

n! sn+1

,

s > 0, n = 1, 2, . . .

4). £{ sen kt}(s) =

,

s>0

5). £{cos kt}(s) =

s s2 +k2

,

s>0

6). £{ senh kt}(s) =

8). £{tn eat}(s) =

n! (s−a)n+1

,

Demostraci´n 1). Si s > 0 se tiene que o £{1}(s) =
0 ∞

Un

s > a, n = 1, 2, . . .

ive

7). £{cosh kt}(s) =

s s2 −k2

,

s > |k|

rsid

ad

k s2 −k2

,

s > |k|

de

An

tioq

uia

,D

k s2 +k2

ept
e
−st

e−st 1 dt = −s

∞ 0

o. d
= 1 s 217

3). £{eat }(s) =

1 s−a

,

para s > a

eM

atem atic

, s >0, k constante.

as

CAP´ ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE Demostraci´n 2). Hagamos la demostraci´n por el m´todo de inducci´n. o o e o Para ello, suponemos que s > 0 y utilizamos el siguiente limite: n l´ | ect | = 0, n = 1, 2, . . . ım t
∞ 0

t→∞

n = 1 : £{t}(s) = = −

e−st t dt,
∞ 0

hagamos 1 s
∞ 0

u=t ⇒ du = dt −st dv = e dt ⇒ v = − 1 e−st s

Supongamos que se cumple paran − 1 y veamos que se cumple para n. En efecto:

0

de

£{tn−1 }(s) n n = −(0 − 0) + £{tn−1 }(s) = £{tn−1 }(s) s s

An

tioq

tn e−st = − s

e−st tn−1 dt

0

0

£{tn }(s) =

Demostraci´n 4). Por el m´todo de los operadores inversos, tenemos: o e £{ sen kt}(s) = =

0

Un

∞

ive

e−st ( sen kt) dt
∞ 0

rsid

n (n − 1)! n! = n+1 n s s s

ad

Pero por lahip´tesis de inducci´n £{tn−1 }(s) = o o

uia

∞

n + s

∞

,D

£{tn }(s) =

∞

e−st tn dt hagamos

u = tn ⇒ du = ntn−1 dt dv = e−st dt ⇒ v = − 1 e−st s

ept

(n−1)! , sn

o. d

eM
luego:
∞ 0 ∞ 0

1 1 −st e £{t}(s) = −(0 − 0) + s −s 1 1 = − 2 (0 − 1) = 2 s s

∞ 0

1 −st e sen kt D
∞ 0

=e

−st

1 sen kt D−s

= e 218

−st

D+s sen kt D 2 − s2

=e

−stD+s sen kt −k 2 − s2

atem atic

te−st s

as

+

e−st dt

6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE = − 1 e−st (k cos kt + s sen kt) 2 + k2 s 0 1 k = − 2 (0 − k) = 2 , s>0 s + k2 s + k2
∞

En la demostraci´n anterior utilizamos el siguiente teorema de l´ o ımites: si l´ |f (t)| = 0 y g(t) es una funci´n acotada en ℜ entonces l´ f (t)g(t) = 0 ım o ım

6.2.

TRANSFORMADA INVERSA...