Transformada laplace

Matem´ticas Avanzadas a CURSO 2008-09
Clase Pr´ctica No. 14 a TRANSFORMADA DE LAPLACE C´lculo simb´lico a o de transformadas de Laplace. Problemas

TRANSFORMADA DE LAPLACE
La transformada deLaplace de una funci´n F (t) definida en [0, +∞) es o una nueva funci´n que denotaremos por f (s) o L(F (t))(s), definida por o la integral
∞

f (s) =
0

e−stF (t)dt.

(1)

El dominio de f (s) =L(F )(s) est´ formado por los valores de s para los a cuales la integral (1) existe. Notar que (1) est´ dada en t´rminos de una integral impropia de primera a e especie (intervalo no acotado).Recordar que si G es integrable en cada [0, b], entonces
∞ b

G(t)dt = lim
0

b→∞

G(t)dt,
0

si el l´ ımite de la derecha existe.
Esta clase est´ basada en la clase No. 4 de laboratorio, de laasignatura Ecuaciones Diferenciales de la ETSI a Industriales. Ver http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE (cont.)
Para el c´lculo automatizado de (1) Matlabofrece el comando LAPLACE de tipo simb´lico, cuya sintaxis es a o >>f=laplace(F) donde F es una funci´n escalar de la variable simb´lica t, previamente declarada, y f es una funci´n cuya o o o variablees por defecto s. El siguiente ejemplo muestra que se pueden elegir las variables libremente. >> syms u v >>f=laplace(u^2,v) f = 2/v^3

EJEMPLOS
Ejemplo 1. -Calcular la transformada de Laplace dela funci´n F (t) = 1. o

Resoluci´n del ejemplo 1. o >>syms t s >>laplace(1,t,s) ans =1/s

Ejemplo 2.

Calcular la transformada de Laplace de la funci´n F (t) = e−at . o

Resoluci´n delejemplo 2. o >>syms a; >>laplace(exp(-a*t),t,s) ans =1/(s+a)

Problema

Ejercicio 1. Calcular, utilizando Matlab, la transformada de Laplace de las funciones F (t) = t, F ( t) = t2 y F ( t ) = t 3 .El alumno deberi´ recordar que para n ∈ N la transformada de Laplace de tn viene dada por la f´rmula: a o

L(t )(s) =

n

n! s(n+1)

,

y para r > −1, r ∈ R (r no es necesariamente entero),...