Transformada Z

Transformada Z

Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ingenier´
ıa
´
Escuela de Ingenier´ Electrica
ıa
Departamento de Electr´nica, Computaci´n y Control
o
o
Variable Compleja y C´lculo Operacional
a

Febrero, 2013

Transfromada Z

William La Cruz (UCV)

1

Contenido
Definici´n
o

3

Propiedades

6

Transformada z Inversa
Integraci´n Compleja . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
Expansi´n en Serie de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
Inversi´n con Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

Transfromada Z

William La Cruz (UCV)

10
11
13
15

2

Definici´n
o
Definici´n 1 (Transformada z bilateral). Sea f (n) una funci´n de
o
o
dominio discreto. La transformada z bilateral de f (n) sedefine como
∞

f (n)z −n ,

F (z) = Z [f (n)] =
n=−∞

para z ∈ D ⊂ C, donde D se denomina regi´n de convergencia.
o

Definici´n 2 (Transformada z unilateral). Sea f (n) una funci´n de
o
o
dominio discreto. La transformada z unilateral de f (n) se define
como
∞

f (n)z −n ,

F (z) = ZU [f (n)] =
n=0

para z ∈ D ⊂ C.

Transfromada Z

William La Cruz (UCV)

3Observaciones
• La transformada z es anal´
ıtica en su regi´n de convergencia.
o
• La regi´n de convergencia de la transformada z, F (z), es el conjunto
o
de todos los n´meros complejos z para los que F (z) es finita, esto es,
u
D = {z ∈ C : |F (z)| < ∞}.
• De la definici´n de la transformada z se infiere que f (n) son los
o
coeficientes del desarrollo en serie de Laurent de F (z) centrado en
z0 = 0,v´lido en D. Adem´s, F (z) es la suma de la serie
a
a
∞
f (n)z −n .
n=−∞
• La regi´n de convergencia de la transformada z es un anillo centrado
o
en el origen.

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Ejemplo
Calcular las transformadas z bilateral y unilateral de la funci´n
o
f (n) = an u(n + 1),

a ∈ R, a = 0.

Soluci´n. La transformada z bilateral de f (n) es
o
∞an u(n + 1)z −n

F (z) =
=

n=−∞
z2

a(z − a)

,

|z| > |a|,

y la transformada z unilateral es
∞

an u(n + 1)z −n

ZU [f (n)](z) =
n=0

=

Transfromada Z

z
,
z−a

|z| > |a|.

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Propiedades
Sean f (n) y g(n) dos funciones de dominio discreto con transformada z
F (z) para z ∈ Df y G(z) para z ∈ Dg , respectivamente. Las siguientespropiedades se cumplen:
Linealidad
Z

−→

a f (n) + b g(n)

a F (z) + b G(z), z ∈ Df ∩ Dg

Desplazamiento en tiempo
f (n − n0 )

Z

−→

z −n0 F (z), z ∈ Df

Inversi´n en el tiempo
o
f (−n)

Z

−→

Transfromada Z

F (z −1 ), {z ∈ C : z −1 ∈ Df }

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Escalamiento en el dominio de z
Z

ejω0 n f (n)
n
z0 f (n)

−→

an f (n)

F e−jω0 z, z ∈ Df

−→

−→

Z

F (z/z0 ) , {z ∈ C : z/z0 ∈ Df }

Z

F a−1 z , {z ∈ C : z/|a| ∈ Df }

Conjugaci´n
o
Z

−→

f (n)

F (z), z ∈ Df

Convoluci´n
o
Z

f ∗ g (n)

−→

F (z) G(z), z ∈ Df ∩ Dg

Primera diferencia
f (n) − f (n − 1)

Z

−→

Transfromada Z

z−1
z

F (z), z ∈ Df ∩ {z ∈ C : |z| > 0}

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Acumulaci´n
o
n

f (k)Z

−→

k=−∞

z
z−1

F (z), z ∈ Df ∩ {z ∈ C : |z| > 1}.

Diferenciaci´n en el dominio de z
o
n f (n)

Z

−→

d
F (z), z ∈ Df
−z
dz

Teorema del valor inicial
Si f (n) = 0, para n < 0, entonces
f (0) = l´ F (z)
ım
z→∞

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Ejemplo
A continuaci´n se muestran algunas funciones y la transformada z de las
o
mismas.

2)3)
4)
5)
6)
7)

Z

1, z ∈ C
z
Z
, |z| > 1
u(n)
−→
z−1
z
Z
−u(−n − 1)
−→
, |z| < 1
z−1
z
Z
n u(n)
α
−→
, |z| > |α|
z−α
z
Z
n u(−n − 1)
−α
−→
, |z| < |α|
z−α
αz
Z
n u(n)
nα
−→
, |z| > |α|
2
(z − α)
αz
Z
n u(−n − 1)
−n α
−→
, |z| < |α|
2
(z − α)

1) δ(n)

−→

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Transformada z Inversa
Sea f (n) una...