Transformadas finitas de fourier

La Transformada Discreta de Fourier y la Transformada R´pida de Fourier a
Luis Gerardo de la Fraga 30 de mayo de 2001
Resumen Este documento describe la deducci´n de la Transformada Discreta de Fourier o (TDF) a partir de la formulaci´n de los sistemas discretos en el tiempo y su Transo formada de Fourier. Tambi´n se deduce el algoritmo optimizado para calcular la e TDF, que es la TransformadaR´pida de Fourier (FFT, por sus siglas en ingl´s), en a e decimaci´n en tiempo. Estos apuntes son una traducci´n propia del libro: Digital o o Signal Processing, de A.V. Oppenheim y R.W. Schafer, Ed. Prentice Hall.

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Secuencias

En teor´ de sistemas discretos en el tiempo, nos concierne el procesamiento de se˜ales ıa n que son representadas por secuencias. Una se˜al discreta en el tiempoes una secuencia. n Una secuencia de n´meros x, en la cual el n–´simo n´mero en la secuencia se denota u e u por x(n), se escribe formalmente como: x = x{(n)}, para − ∞ < n < ∞
x(n) x(0) x(1) x(2)

(1)

x(−1) x(−2)

8 9 n −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

Figura 1: Representaci´n gr´fica de una se˜al discreta en el tiempo. o a n

Aunque las secuencias no siempre provienen de muestrearformas de onda anal´gicas, o por conveniencia se refiere a x(n) como la “n–´sima” muestra de la secuencia. e

1

1

Muestra Unitaria n 0

1

Escalon Unitario

...
n 0

...
0

Exponencial Real

...
Senoidal

n

... ...
0 n

Figura 2: Algunos ejemplos de secuencias. Las secuencias mostradas juegan un rol importante en la an´lisis y representaci´n de se˜ales y sistemasdiscretos en el tiempo. a o n

Tambi´n, aunque hablando estrictamente x(n) denota el n–´simo n´mero en la secuene e u cia, la notaci´n de la ec. (1) es frecuentemente redundante, y es conveniente e inamo big¨amente referida como “la secuencia x(n)”. Las se˜ales discretas en el tiempo (i.e., u n secuencias) se representan gr´ficamente como se muestra en la Fig. 1. Aunque la abscisa a es dibujada comouna l´ ınea continua, es importante reconocer que x(n) est´ definida soa lamente para valores enteros de n. No es correcto pensar de x(n) que es cero para un n no entero; x(n) est´ simplemente indefinida para valores no enteros de n. a La secuencia muestra unitaria, δ(n), est´ definida como la secuencia de valores a δ(n) = 0, n = 0 1, n = 0 (2)

Por conveniencia, la secuencia muestra unitario esreferida como un impulso discreto en el tiempo, o simplemente como un impulso. Su definici´n es simple y precisa y no o sufre de las complicaciones matem´ticas de la funci´n impulso en el tiempo continuo. La a o representaci´n gr´fica de la secuencia muestra unitaria puede verse en la parte superior o a de la Fig. 2 Una secuencia exponencial real es cualquier secuencia cuyos valores son de la forma an, donde a es un n´mero real. Una secuencia senoidal tiene valores de la forma Acos(ω0 +φ). u Una secuencia exponencial compleja es de la forma e(σ+jω0 )n . Una secuencia x(n) se define que es peri´dica con periodo N si x(n) = x(n + N ) para o todo n. La exponencial compleja con σ = 0 y las secuencias senoidales tienen un periodo de 2π/ω0 solamente cuando ´ste n´mero real es un entero. Si 2π/ω0 noes un entero pero si e u un n´mero racional, la secuencia racional ser´ peri´dica pero con un periodo m´s largo que u a o a 2

2π/ω0 . Si 2π/ω0 no es un n´mero racional, las secuencias senoidal y exponencial complejas u no son peri´dicas. La frecuencia ω0 puede escogerse de una amplitud continua de valores. o Sin embargo, no hay p´rdida de generalidad en restringir ω0 continua en el intervalo e0 ≤ ω0 ≤ 2π (o de forma equivalente −π ≤ ω0 ≤ π) ya que las secuencias senoidales o exponenciales complejas obtenidas de varias ω0 en el intervalo 2πk ≤ ω0 ≤ 4π(k + 1) son exactamente id´nticas para cualquier k obtenido al variar ω0 en el intervalo 0 ≤ ω0 ≤ 2π. e En el an´lisis de sistemas de procesamiento de se˜ales discretas en el tiempo, las secuena n cias son manipuladas de varias maneras...