trasformaciones lineales

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TLALNEPANTLA
CAMPUS ORIENTE


ALGEBRA LINEAL

UNIDAD 5. TRANSFORMACIONES LINEALES

RIVERA ARREOLA ISELA LIBERTAD

PROFESOR:
VAZQUEZ GAMEZ ISRAEL

ING. EN ADMINISTRACIÓN

13252106






5. TRANSFORMACIONES LINEALES
Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en AlgebraLineal. ´
Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios.
5.1. DEFINICIONES, EJEMPLOS Y PROPIEDADES BÁSICAS
En esta sección introduciremos la noción de transformación lineal, así como también ciertas nociones básicas asociadas a estas funciones.
Transformaciones lineales
Definición. Sean (V, +V, ·V)y (W, +W , ·W ) dos K-espacios vectoriales. Una función f : V → W se llama una transformación lineal (u homomorfismo, o simplemente morfismo) de V en W si cumple:
i) f(v +Vv0) = f(v) +W f(v0) ∀ v, v0 ∈ V.
ii) f(λ ·Vv) = λ ·W f(v) ∀ λ ∈ K, ∀ v ∈ V.
Observación. Si f : V → W es una transformación lineal, entonces f(0V ) = 0W.
En efecto, puesto que f(0V ) = f(0V + 0V ) = f(0V ) + f(0V ), entonces0W = f(0V ) + (−f(0V )) = ³f(0V ) + f(0V )+ (−f(0V )) =
= f(0V ) + ³f(0V ) + (−f(0V ))´= f(0V ) + 0W = f(0V ).
Ejemplos.
1. Sean V y W dos K-espacios vectoriales. Entonces 0 : V → W, definida por 0(x) = 0W ∀ x ∈ V , es una transformación lineal.
2. Si V es un K-espacio vectorial, id : V → V definida por id(x) = x es una transformación lineal.
3. Sea A ∈ Km×n. Entonces fA : Kn → Kmdefinida por fA(x) = (A.xt) t es una transformación lineal.
4. f : K[X] → K[X], f(P) = P0es una transformación lineal.
5. F : C(R) → R, donde C(R) = {f : R → R | f es continua}, F(g) = R10g(x) dx es una transformación lineal.
Como hemos mencionado al comienzo, las transformaciones lineales respetan la estructura de K-espacio vectorial. Esto hace que en algunos casos se respete la estructura de subespacio, Por ejemplo en las imágenes y pre-imágenes de sub espacios por transformaciones lineales:
Proposición 3.3 Sea f : V → W una transformación lineal. Entonces:
1. Si S es un sub espacio de V , entonces f(S) es un sub espacio de W.
2. Si T es un sub espacio de W, entonces f−1(W) es un sub espacio de V .
Demostración.
1. Sea S ⊆ V un sub espacio y consideremos f(S) = {w ∈ W / ∃ s ∈ S, f(s)= w}.
(a) 0W ∈ f(S), puesto que f(0V ) = 0W y 0V ∈ S.
(b) Sean w, w0 ∈ f(S). Entonces existen s, s0 ∈ S tales que w = f(s) y w0 = f (s0). Luego w + w0 = f(s)+f(s0) = f(s + s0) ∈ f(S), puesto que s + s0 ∈ S.
(c) Sean λ ∈ K y w ∈ f(S). Existe s ∈ S Tal que w = f(s). Entonces λ·w =
Λ·f(s) =f(λ · s) ∈ f(S), puesto que λ · s ∈ S.
2. Sea T un subespacio de W y consideremos f−1(T) = {v ∈ V / f(v) ∈ T}.
(a) 0V ∈ f−1(T), puesto que f(0V ) = 0W ∈ T.
(b) Sean v, v0 ∈ f−1(T). Entonces f(v), f(v0) ∈ T y, por lo tanto, f(v + v0) = f(v)
+f(v0) ∈ T. Luego v + v0 ∈ f−1(T).
c) Sean λ ∈ K, v ∈ f−1(T). Entonces f(v) ∈ T y, en consecuencia, f(λ·v) = λ·f(v)
∈T. Luego λ · v ∈ f−1(T).

Demanera análoga se prueba que f(λv) = λf(v) ∀ λ ∈ K, ∀ v ∈ V .
Unicidad. Supongamos que f y g son dos transformaciones lineales de V en W tales que f(vi) = wi y g(vi) = wi para cada 1 ≤ i ≤ n. Entonces, dado v ∈ V , si v =P ni=1αi vi, por la linealidad de f y g se tiene que f(v) = Xni=1αif(vi) = Xni=1αig(vi) = g(v).
Luego, f(v) = g(v) para todo v ∈ V , de donde f = g. ¤
Observación. Con unademostración análoga a la de la proposición anterior se prueba
que, si V y W son dos K-espacios vectoriales (V no necesariamente de dimensión finita),
B = {vi: i ∈ I} una base de V y {wi: i ∈ I} ⊂ W, existe una única transformación lineal
f : V → W tal que f(vi) = wi ∀ i ∈ I.
Teniendo en cuenta que las transformaciones lineales son funciones entre conjuntos, tiene sentido estudiar la validez...