Trasnsformada De Laplace

Ma
tem

atic

as

CAP´ITULO 6

a, I

INTRODUCCION

qui

6.1.

nsti

tuto

de

TRANSFORMADA DE
LAPLACE

An
tio

Definici´
on 6.1. Sea f (t) una funci´on definida para todo t ≥ 0; se define la
Transformada de Laplace de f (t) as´ı:
∞

£{f (t)}(s) = F (s) =

e−st f (t)dt

0

de

b

e−st f (t)dt,

l´ım

b→∞

da d

=

ersi

si el l´ımite existe.

0

Un
iv

Teorema 6.1.
Si f (t) es una funci´oncontinua a tramos para t ≥ 0 y adem´as |f (t)| ≤ M ect
para todo t ≥ T , donde M es constante , c constante y T > 0 constante,
entonces £{f (t)}(s) existe para s > c.
Demostraci´
on: veamos que la siguiente integral existe, en efecto:
|£{f (t)}(s)| =
=

∞
0
∞
0

e−st f (t)dt ≤

e−st |f (t)|dt,
211

∞
0

|e−st ||f (t)|dt

sabiendo que e−st > 0

212

CAP´ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
T

=

e

−st

0∞

|f (t)|dt +

T

e−st |f (t)|dt

I1

I2

T

e−st |f (t)|dt existe, ya que f es continua a tramos
∞

I2 =
T

∞

e−st |f (t)| dt ≤
≤ M ect

∞

e−st M ect dt = M
T

T

e(−s+c)t dt

Ma
tem

0

atic

as

I1 =

∞

tuto

de

M
=
e−(s−c)t , suponiendo que s − c > 0
−(s − c)
T
M −(s−c)T
M
−(s−c)T
= −
(0 − e
)=
e
s−c
s−c

nsti

Luego, £{f (t)}(s) existe, si s > c.

qui

a, I

NOTA: a) cuando f (t) ≤ |f (t)|≤ M ect para t ≥ T , entonces decimos
que f (t) es de orden exponencial (ver figura 6.1).

An
tio

f (t)

M ect , (c > 0)

T

de

Un
iv

ersi

(0, M ) •

f (t)

da d

•

t

Figura 6.1

b) Si f (t) es de orden exponencial, es decir, |f (t)| ≤ M ect para t ≥ T y
c, M constantes, entonces
l´ım e−st f (t) = 0, s > c

t→∞

6.1. INTRODUCCION

213

En efecto, como |f (t)| ≤ M ect , entonces |e−st f (t)| ≤M e−(s−c)t y como
l´ımt→∞ e−(s−c)t = 0, si s > c, entonces por el teorema de estricci´on en l´ımites,
se concluye que
l´ım |e−st f (t)| = 0, s > c,
t→∞

luego

as

l´ım e−st f (t) = 0, s > c

atic

t→∞

∞

def.

£{αf (t) + βg(t)}(s)

=

Ma
tem

Observaci´
on: £ es un operador lineal, en efecto
e−st (αf (t) + βg(t)) dt

0

α

e

−st

f (t) dt + β

0

0

α£{f (t)}(s) + β£{g(t)}(s)

k
s

£{k}(s) =, s > 0,

n!
sn+1

,

s > 0, n = 1, 2, . . .

3). £{eat }(s) =

1
s−a

,

para s > a

7). £{cosh kt}(s) =
8). £{tn eat }(s) =

s>0

k
s2 −k2
s
s2 −k2

n!
(s−a)n+1

da d

6). £{ senh kt}(s) =

,
,

s > |k|

,

s > |k|

,

ersi

s
s2 +k2

s>0

Un
iv

5). £{cos kt}(s) =

,

de

k
s2 +k2

4). £{ sen kt}(s) =

k constante.

An
tio

2). £{tn }(s) =

a, I

, s > 0,

qui

1
s

nsti

Teorema 6.2.
1).£{1}(s) =

e−st g(t) dt

tuto

=

∞

de

=

∞

s > a, n = 1, 2, . . .

Demostraci´
on: 1). Si s > 0 se tiene que
∞

£{1}(s) =
0

e

−st

e−st
1 dt =
−s

∞
0

=

1
s

2). Hagamos la demostraci´on por el m´etodo de inducci´on. Para ello, supo-

214

CAP´ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
n

nemos que s > 0 y utilizamos el siguiente limite: l´ım | etct | = 0, n = 1, 2, . . .
t→∞

e−st t dt,

u=t
⇒ du = dt−st
dv = e dt ⇒ v = − 1s e−st

hagamos

0
∞

+

0

1
s

∞

e−st dt

0

as

te−st
= −
s

∞
0

de

1 1 −st
e
£{t}(s) = −(0 − 0) +
s −s
1
1
= − 2 (0 − 1) = 2
s
s

atic

n = 1 : £{t}(s) =

Ma
tem

∞

u = tn
⇒ du = ntn−1 dt
dv = e−st dt ⇒ v = − 1s e−st

e−st tn dt hagamos

nsti

∞

tn e−st
= −
s

∞
0

n
+
s

∞

a, I

0

e−st tn−1 dt

0

qui

£{tn }(s) =

tuto

Supongamos que se cumple para n − 1 y veamosque se cumple para n. En
efecto:

de

An
tio

£{tn−1 }(s)
n
n
= −(0 − 0) + £{tn−1 }(s) = £{tn−1 }(s)
s
s
luego:

n (n − 1)!
n!
=
s sn
sn+1

ersi

£{tn }(s) =

(n−1)!
,
sn

da d

Pero por la hip´otesis de inducci´on £{tn−1 }(s) =

£{ sen kt}(s) =

Un
iv

4). Por el m´etodo de los operadores inversos, tenemos:
∞

e−st ( sen kt) dt

0

=

= e−st

1 −st
e sen kt
D

D+s
sen kt
D 2 − s2

∞
0

∞

1
senkt
D−s

∞

D+s
sen kt
−k 2 − s2

∞

= e−st

0

= e−st

0

0

6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

215

∞

1
e−st (k cos kt + s sen kt)
s2 + k 2
0
1
k
= − 2
(0 − k) = 2
, s>0
s + k2
s + k2
= −

t→∞

TRANSFORMADA INVERSA DE
LAPLACE

de

6.2.

Ma
tem

atic

t→∞

as

En la demostraci´on anterior utilizamos el siguiente teorema de l´ımites: si
l´ım |f (t)| = 0 y g(t) es una funci´on acotada...