Trigonometrica

Integrales por sustitución trigonométricas
En ocasiones de manera directa no se pueden realizar las integrales, en otras ocasiones parece ser que pudiéramos integrar de manera inmediata debido a que a primera inspección encontramos similitud con las formulas que tenemos en las tablas de formulas. Inclusive existen algunas de las mismas formulas que podemos deducir mediante algunas técnicas, comola que en esta ocasión nos ocupa, veamos el siguiente ejemplo:   Deduce la siguiente formula:
 
Pensemos en una sustitución que podamos realizar en la integral de tal forma que nos permita una integración inmediata. Recordemos que:

observemos que sucede si hacemos un cambio de variable que nos conduzca a el uso de esta sustitución, concretamente, sustituyamos
  

Recordemos que a  lotambién queda expresado como:
           
 de donde 

donde la nueva c se ha juntado con la constante generada con el logaritmo: 

al igual que esta integral se pueden encontrar de la misma forma algunas otras, vale la pena seguir la siguiente recomendación:
  
hemos de aclarar que esas sustituciones surgen al igual que la sustitución del ejercicio anterior, de observación y comparación delas propiedades trigonométricas:

Calcular la siguiente integral  y comprobar
   
Solución:
como podemos comprobar la integración no se puede realizar de manera inmediata. Antes de realizar alguna sustitución valdría la pena hacer alguna factorización en el radical

realizando la sustitución
 
por lo tanto: 

como entonces:
  del triangulo rectángulo siguiente identificamos:

lahipotenusa es 2x y el cateto adyacente es 3 por lo tanto el cateto opuesto es igual a:

por lo que

 Comprobación del resultado.

simplificando tenemos:

Se sugieren los siguientes ejercicios:
Sustitución trigonométrica

 A menudo es posible hallar la antiderivada de una función cuando el integrando presenta expresiones de la forma:

Se elimina el radical haciendo la sustitucióntrigonométrica pertinente; el resultado es un integrando que contiene funciones trigonométricas cuya integración nos es familiar. En la siguiente tabla se muestra cuál debe ser la sustitución:
Expresión en el integrando | Sustitución trigonométrica |
| |
| |
| |

Partes: 1, 2

 Ejercicios resueltosEn los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida: |
| | |
| | |
| ||

S o l u c i o n e s
 

| |

Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:

 

| (Fig.1) |

Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:

 

 
| |

 
| |

 

Integración por sustitución trigonométrica
Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de laforma:
con y
La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo.
Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:
A .        El integrando contiene una función de la forma con
Se hace el cambio de variable escribiendo
donde
Si entonces
Además:
pues y como
entonces por lo queLuego:
Como entonces
Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

Ejemplos:
1. | |

Sea con

Luego:

Sustituyendo:

Como entonces y
Además por lo que
Estos resultados también pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

Por último:

2. | |
Sea

Luego

Sustituyendo

Como entonces por lo que puedeutilizarse la siguiente figura para dar el resultado final:
| |   |
Luego:

3. | |
Sea

Además:

Sustituyendo:

4. | |
Sea

Luego

Sustituyendo

pues y
También puede utilizarse:

5. |   Ejercicio para el estudiante |
6. |         Ejercicio para el estudiante |
7. |            Ejercicio para el estudiante |
B)             El integrando contiene una...