Trilateracion

Trilateracion ´
Mauricio Gende Ivana Molina * mgende@fcaglp.unlp.edu.ar 6 de junio de 2011

´ Indice
1. Introducci´n o 2. Soluci´n gr´fica o a 3. Soluci´n anal´ o ıtica 4. Soluci´n iterativa o 4.1. Resoluci´n del caso sin errores de observaci´n . . . . . . . . o o 4.2. Resoluci´n de una situaci´n realista . . . . . . . . . . . . . . o o 4.3. Cambio en los valores iniciales . . . . . . . . . .. . . . . . . 4.4. Otro escenario en la distribuci´n de los puntos de coordenadas o conocidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Visualizaci´n gr´fica del DOP . . . . . . . . . . . . . o a 1 2 3 5 7 8 8

. . .

. 9 . 11

1.

Introducci´n o

La trilateraci´n es un m´todo para obtener las coordenadas de un punto o e del que se ignora su posici´n a partir de lamedici´n de distancias a puntos de o o
Facultad de Ciencias Astron´micas y Geof´ o ısicas, Paseo del Bosque s/n, 1900 La Plata, Argentina
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Trilateraci´n o

Referenciaci´n o

coordenadas conocidas a priori. Esta t´cnica es la base del posicionamiento e de todos los sistemas GNSS. La ecuaci´n b´sica de observaci´n en el plano es: o a o ρ = (xe − x)2 + (ye − y)2 Donde ρ es la cantidadobservada, (xe , ye ) son las coordenadas conocidas y (x, y) las coordenadas que se ignoran. Como las inc´gnitas son dos el probo lema requiere un m´ ınimo de dos ecuaciones. As´ el problema queda planteado ı como: ρ1 = (xe1 − x)2 + (ye1 − y)2 ρ2 = (xe2 − x)2 + (ye2 − y)2 En t´rminos generales no podremos afirmar que con s´lo dos ecuaciones e o la soluci´n ser´ unica y por lo tanto es imprescindibleuna ecuaci´n m´s para o a´ o a resolver el problema. ρ3 = (xe3 − x)2 + (ye3 − y)2

2.

Soluci´n gr´fica o a

Una soluci´n sencilla que no requiere conocimientos matem´ticos consiste o a en realizar un gr´fico y deducir del mismo la respuesta. As´ para el caso de a ı tener los siguientes puntos de coordenadas conocidas: punto x y 1 2 2 3 4 2 3 4 2 y las siguientes distancias desde el puntoinc´gnita a cada uno de ellos: o segmento distancia √ punto 1 - punto desconocido 2 punto 2 - punto desconocido 1 √ punto 3 - punto desconocido 2 El problema se resuelve trazando los c´ ırculos con centro en cada punto conocido y radio igual a la distancia punto conocido - punto inc´gnita. o Quedan representadas entonces todas las posibles posiciones del punto inc´gnita mediante circunferencias y unasola de ellas ser´ la correcta: la intero a secci´n de todas las circunferencias. o 2

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Referenciaci´n o

Figura 1: Soluci´n gr´fica del problema. o a

3.

Soluci´n anal´ o ıtica

Una posible resoluci´n anal´ o ıtica vendr´ dada por la soluci´n de dos ecuaa o ciones cuadr´ticas, cada una de las cuales tendr´ dos ra´ a a ıces, habiendo una sola ra´ com´n a ambasecuaciones. ız u Partiendo de las tres ecuaciones: d1 = (x − x1 )2 + (y − y1 )2 d2 = (x − x2 )2 + (y − y2 )2

d3 = (x − x3 )2 + (y − y3 )2 Elevando al cuadrado y restando la primera ecuaci´n a la segunda ... o 2 2 2 2 2 2 d1 = (x − x1 ) + (y − y1 ) = x − 2xx1 + x1 + y − 2yy1 + y1 2 d2 2 = (x − x2 )2 + (y − y2 )2 = x2 − 2xx2 + x2 2 + y 2 − 2yy2 + y2 2 d1 2 − d2 2 = −2x(x1 − x2 ) − 2y(y1 − y2 ) + x1 2 −x2 2 + y1 2 − y2 2 (d1 2 −d2 2 )−(x1 2 −x2 2 )+(y1 2 −y2 2 ) = x(x1 − x2 ) + y(y1 − y2 ) −2 Y llamando (d1 2 −d2 2 )−(x1 2 −x2 2 )+(y1 2 −y2 2 ) =A −2 3

Trilateraci´n o

Referenciaci´n o

Queda A = x(x1 − x2 ) + y(y1 − y2 ) De donde A−x(x1 −x2 ) =y (y1 −y2 ) Reemplazando y en las ecuaciones d1 2 = (x − x1 )2 + d1 2 = (x − x1 )2 + d1 2 = (x − x1 )2 + (y y1
2 A−x(x1 −x2 ) (y1 −y2 ) A−x(x1−x2 ) (y1 −y2 ) 1
2 1 −y2 )

2

− y1
2

−2

A−x(x1 −x2 ) (y1 −y2 )

y1 + y1 2
A−x(x1 −x2 ) (y1 −y2 )

(A2 − 2Ax(x1 − x2 ) + x2 (x1 − x2 ))−2

y1 +

Si llamamos (y1 − y2 ) = ∆y12 (x1 − x2 ) = ∆x12 Entonces la soluci´n queda: o x2 1 + 0 Escribiendo α= 1+
∆x12 ∆y12 2 ∆x12 ∆y12 2 ∆x12 12 +x −2x1 − 2A ∆y12 2 − 2A ∆x12 y1 + ∆y A2 ∆y12 2

+ y 1 2 − d1 2 =

∆x12 12 β = −2 x1 + A...