Un Resorte Se Alarga 4 Cm Cuando Se Cuelga De L Un Objeto De 20 Kg De Masa


a) Un resorte se alarga 4 cm cuando se cuelga de él un objeto de 20 kg de masa. A continuación, se estira el resorte 3 cm más y se le deja que oscile libremente. Determina el periodo y la pulsación del movimiento. Calcula los valores de la elongación, velocidad, aceleración y dureza elástica a los 2,1 s de iniciado el movimiento. ¿Cuál es la diferencia de fase entre este instante y el instanteinicial?
Aplicando la ley de Hooke:
k = = = = 4900 N/m
El periodo del movimiento y la pulsación son:
T = 2 =2 = 0,4 S
ω= = = 5 rad/s
El movimiento comienza en el punto más bajo de la vibración, por ello si para su descripción se utiliza la función sin ϕ, entonces la fase inicial es ϕ0 = 3 π/2 rad.
Las expresiones de la elongación, velocidad, aceleración y fuerza elástica y sus valores a los2,1 s de iniciado el movimiento son:

y = 0,03 sen(5 π t + 3 π/2) ⇒ y2,1 = 0,03 sen(5 π *2,1 + 3 π/2) = 0 m

b) Una barra de 0,8 m de longitud y 60 N de peso se mantiene en posición vertical mediante dos muelles idénticos cada uno de los cuales tiene una constante k igual a 50 000 N/m. ¿Qué fuerza vertical P hará que la frecuencia natural de la barra alrededor de A se aproxime a un valor nulo parapequeñas oscilaciones.

En la figura (a) se muestra el DCL de la barra en posición de equilibrio y en (b) el DCL de la barra para una posición (θ) fuera del equilibrio.



(a) (b)
Aplicando la segunda condición de equilibrio se tiene:
MA= 0 ⇒ -(0,2)+(0.8)= 0(1)
Aplicando la segunda ley de newton para el movimiento de rotación de la varilla
MA=
((0.2Cos 𝜃) - (0,8Cos 𝜃)+(0.4 Sen)+ P(0.8 sen 𝜃)= (2)
Para ángulos pequeños Cos 𝜃≃1 y sen 𝜃≃ 𝜃, entonces la ecuación (2) se escribe
((0.2) - (0,8)+(0.4)+ P(0.8 𝜃)= (3)
Remplazando la ecuación (1) en (2), resulta
((0.2)- (0,8)+(0.4 𝜃)+ P(0.8 sen 𝜃)=
(0.2 𝜃) (0.2 )- (0,8 𝜃) (0,8)+(0.4 𝜃)+ P(0.8 sen𝜃)=
Teniendo en cuenta que K = m resulta:
k(0.04 𝜃) – k (0.64 𝜃 )+(0.4 𝜃)+ P(0.8𝜃)= m
m +[0,68k – 0,4W – 0,8 P] 𝜃 = 0
Remplazando valores se tiene:
()(0,8) + [0,68(5000) – 0,4(60) – 0.8P] = 0
1,306 + (3376 – 0,8 P)
La frecuencia circular será:
=
Para que la frecuencia sea cero se tiene:
P=3376 N


a) Un cilindro uniforme de 7 kg puede rodar sin deslizarse por un plano inclinado yestá sujeto por un muelle como se muestra. Si su centro se mueve 10 mm plano abajo y se suelta, hallar: (a) el período de la oscilación y (b) la velocidad máxima del centro del cilindro.

En la figura (a) se muestra el DCL del cilindro en la posición (xG) fuera del equilibrio.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio al DCL de la figura para una posición de equilibrio estático se tiene:
= m=m(0)=0
mgsen14º - - =0 (1)
= =0)=0
(r) - (r)=0 (2)
Sumando las ecuaciones (1) y (2), resulta:
mgsen14º - 2= 0
mgsen14º - 2k=0 (3)
La ecuación de movimiento de traslación en la dirección x, nos da
= m
mgsen14º - - =m
mgsen15º - - K(=m (4)
La ecuación de movimiento de rotación no da:
=
(r) - (r)=(r)- K(==
- K(= (5)

Sumando las ecuaciones 3 y 5 resulta:
mgsen14º - 2k ((= m (6)
Remplazando 3 en 6 se tiene:
m0 (7)
La relación entre la aceleración lineal y angular se obtiene tomando como centro
instantáneo el punto CIde la figura.

Primera derivada
=r
Segunda derivada:
=r= (8)
Remplazando 8 en 7 y simplificando resulta:
m+2k=0
(7)+2(790)=0
=0
El periodo se determina a partir de la frecuencia circular
=
T= 0,51 S
Para determinar la velocidad máxima se aplica las condiciones iníciales
sen(+φ)=50.=Asen(12,3(0)+ φ)= 50. Asen φ
Primera...